Geometrisches Mittel Rechner

📊 Verschiedene Darstellungen

Das geometrische Mittel kann auf verschiedene Weise berechnet werden:

\[G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} \quad \text{(Wurzel-Form)}\] \[G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} \quad \text{(Produkt-Notation)}\] \[G = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right) \quad \text{(Logarithmische Form)}\] \[G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n} \quad \text{(Exponenten-Form)}\]

🔄 Wichtige Eigenschaften

Fundamentale mathematische Eigenschaften:

\[G(x_1, x_2, \ldots, x_n) \leq A(x_1, x_2, \ldots, x_n) \quad \text{(AM-GM-Ungleichung)}\] \[G(a \cdot x_1, a \cdot x_2, \ldots, a \cdot x_n) = a \cdot G(x_1, x_2, \ldots, x_n) \quad \text{(Homogenität)}\] \[G(x^a_1, x^a_2, \ldots, x^a_n) = [G(x_1, x_2, \ldots, x_n)]^a \quad \text{(Potenz-Eigenschaft)}\] \[\text{Gleichheit nur bei } x_1 = x_2 = \ldots = x_n\]

📊 Beziehung zu anderen Mittelwerten

Position in der Mittelwert-Hierarchie:

\[\text{Harmonisches Mittel } \leq \text{ Geometrisches Mittel } \leq \text{ Arithmetisches Mittel}\] \[H \leq G \leq A \quad \text{(Mittelwert-Ungleichung)}\] \[G = \sqrt{H \cdot A} \quad \text{(bei zwei Werten)}\] \[\lim_{p \to 0} M_p = G \quad \text{(Grenzfall der Hölder-Mittel)}\]

📝 Beispiel 1: Einfache Berechnung

Aufgabe: Berechne das geometrische Mittel von 2, 8, 32
Lösung: Geometrische Folge mit Faktor 4
Berechnung:

\[\text{Gegeben: } x_1 = 2, x_2 = 8, x_3 = 32\] \[\text{Produkt: } 2 \times 8 \times 32 = 512\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = \sqrt[3]{512} = \sqrt[3]{8^3} = 8\] \[\text{Verifikation: } 2 \times 4 = 8, \quad 8 \times 4 = 32\]

Antwort: Das geometrische Mittel beträgt 8 (mittlerer Proportionalfaktor)

📝 Beispiel 2: Durchschnittliche Wachstumsrate

Aufgabe: Eine Investition wächst 3 Jahre: +5%, +3%, +8%. Wie hoch ist die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate?
Gegeben: Wachstumsfaktoren: 1.05, 1.03, 1.08
Berechnung:

\[\text{Faktoren: } 1{,}05, 1{,}03, 1{,}08\] \[\text{Produkt: } 1{,}05 \times 1{,}03 \times 1{,}08 = 1{,}167124\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = \sqrt[3]{1{,}167124} = 1{,}0531\] \[\text{Durchschnittliche Wachstumsrate: } 1{,}0531 - 1 = 0{,}0531 = 5{,}31\%\]

Interpretation: Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate beträgt 5,31%

📝 Beispiel 3: Vergleich mit arithmetischem Mittel

Aufgabe: Vergleiche geometrisches und arithmetisches Mittel für: 1, 10, 100
Berechnung: Extreme Wertespreizung
Analyse:

\[\text{Arithmetisches Mittel: } A = \frac{1 + 10 + 100}{3} = \frac{111}{3} = 37{,}00\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = \sqrt[3]{1 \times 10 \times 100} = \sqrt[3]{1000} = 10{,}00\] \[\text{Verhältnis: } \frac{G}{A} = \frac{10}{37} = 0{,}27 = 27\%\] \[\text{Das geometrische Mittel ist deutlich kleiner!}\]

Fazit: Bei großen Wertespreizungen ist das geometrische Mittel robuster

🎯 Entscheidungshilfe

Wann welches Mittel verwenden?

\[\text{Geometrisches Mittel bei:}\] \[\text{• Wachstumsraten und Renditen (multiplikativ)}\] \[\text{• Verhältnissen und Proportionen}\] \[\text{• Exponentiellen Prozessen}\] \[\text{• Index-Berechnungen}\] \[\text{• Großen Wertespreizungen}\]

📊 Numerische Implementierung

Praktische Berechnungsmethoden:

\[\text{Direkte Methode: } G = \sqrt[n]{\prod x_i} \quad \text{(kann zu Überläufen führen)}\] \[\text{Logarithmische Methode: } G = \exp\left(\frac{1}{n} \sum \ln(x_i)\right) \quad \text{(numerisch stabil)}\] \[\text{Für große Datenmengen: Logarithmische Methode bevorzugen}\] \[\text{Bei kleinen Werten: Aufpassen auf Underflow}\]

🔍 Wichtige Spezialfälle

Besondere Situationen beim geometrischen Mittel:

\[\text{Zwei Werte: } G(a,b) = \sqrt{ab} \quad \text{(geometrisches Mittel)}\] \[\text{Gleiche Werte: } G(a,a,\ldots,a) = a \quad \text{(trivial)}\] \[\text{Ein Null-Wert: } G = 0 \quad \text{(zerstört das Ergebnis)}\] \[\text{Potenzen: } G(a^k, b^k, c^k) = [G(a,b,c)]^k\]

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Alle Werte müssen positiv sein}\] \[\text{2. Bei Wachstumsraten: Faktoren (1+r) verwenden, nicht Prozente}\] \[\text{3. Bei großen Zahlen: Logarithmische Berechnung}\] \[\text{4. Interpretation als "typischer" multiplikativer Faktor}\] \[\text{5. Vergleich mit arithmetischem Mittel für Plausibilitätsprüfung}\]