Kurtosis Rechner

📊 Formale Definition der Kurtosis

Für eine Datenreihe x₁, x₂, ..., xₙ mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ:

\[\text{Viertes zentrales Moment: } \mu_4 = E[(X - \mu)^4]\] \[\text{Raw Kurtosis: } \text{Kurt} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}\] \[\text{Exzess (Excess Kurtosis): } \text{Exzess} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3\] \[\text{Für Stichproben: } \text{Exzess} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 - 3\]

🔄 Bias-korrigierte Stichproben-Kurtosis

Korrektur für kleine Stichproben (Fisher-Pearson Methode):

\[\text{Sample Kurtosis: } g_2 = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^4 - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)}\] \[\text{wobei der zweite Term die Bias-Korrektur darstellt}\] \[\text{Für große n: } g_2 \approx \text{Population Exzess}\] \[\text{Minimum n = 4 für definierte Berechnung}\]

📊 Verteilungstypen nach Kurtosis

Klassifikation von Verteilungen basierend auf der Kurtosis:

\[\text{Leptokurtisch (Exzess > 0):}\] \[\text{Spitzere Verteilung, dickere Taillen als Normalverteilung}\] \[\text{Beispiel: t-Verteilung, Laplace-Verteilung}\] \[\text{Mesokurtisch (Exzess = 0):}\] \[\text{Gleiche Wölbung wie Normalverteilung}\] \[\text{Platykurtisch (Exzess < 0):}\] \[\text{Flachere Verteilung, dünnere Taillen als Normalverteilung}\] \[\text{Beispiel: Gleichverteilung, Beta-Verteilung}\]

📝 Beispiel 1: Standard-Berechnung

Aufgabe: Berechne Kurtosis von 2, 5, 8, 7, 4
Methode: Population Exzess
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Mittelwert und Standardabweichung}\] \[\bar{x} = \frac{2+5+8+7+4}{5} = 5.2\] \[s = \sqrt{\frac{(2-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + ... + (4-5.2)^2}{5}} = 2.135\] \[\text{Schritt 2: Viertes Moment}\] \[\mu_4 = \frac{1}{5}\left[\left(\frac{-3.2}{2.135}\right)^4 + \left(\frac{-0.2}{2.135}\right)^4 + ... \right] = 1.89\] \[\text{Schritt 3: Exzess}\] \[\text{Exzess} = 1.89 - 3 = -1.11\]

Interpretation: Platykurtisch - flachere Verteilung als normal

📝 Beispiel 2: Leptokurtische Verteilung

Aufgabe: Analyse einer spitzen Verteilung
Daten: 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 0, 10 (viele zentrale Werte, wenige extreme)
Berechnung:

\[\text{Mittelwert: } \bar{x} = 5.0\] \[\text{Standardabweichung: } s = 2.74\] \[\text{Viele Werte bei x = 5 (Zentrum)}\] \[\text{Wenige extreme Werte (0, 10)}\] \[\text{Ergebnis: Positive Kurtosis (leptokurtisch)}\] \[\text{Interpretation: Spitze mit dicken Taillen}\]

Bedeutung: Höhere Wahrscheinlichkeit für Extremereignisse

📝 Beispiel 3: Vergleich verschiedener Verteilungen

Aufgabe: Vergleiche Kurtosis verschiedener Verteilungstypen
Vergleich: Gleichverteilung vs. konzentrierte Verteilung
Analyse:

\[\text{Gleichverteilung: } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\] \[\text{Erwartete Kurtosis: negativ (platykurtisch)}\] \[\text{Konzentrierte Verteilung: } 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 0, 10\] \[\text{Erwartete Kurtosis: positiv (leptokurtisch)}\] \[\text{Normalverteilung: Kurtosis ≈ 0 (mesokurtisch)}\]

Fazit: Kurtosis hilft bei der Charakterisierung der Verteilungsform

📊 Robuste Kurtosis-Maße

Alternative Maße für robuste Kurtosis-Schätzung:

\[\text{Quantile-basierte Kurtosis:}\] \[\text{Moors' Kurtosis: } \frac{(E_7 - E_5) + (E_3 - E_1)}{E_6 - E_2}\] \[\text{wobei } E_k \text{ das k-te Octile ist}\] \[\text{Crow-Siddiqui Kurtosis:}\] \[\text{Basiert auf Quartilen und Octilen}\] \[\text{Weniger empfindlich gegen Ausreißer}\]

🎯 Multivariate Kurtosis

Kurtosis in mehrdimensionalen Daten:

\[\text{Mardia's Multivariate Kurtosis:}\] \[\beta_{2,p} = E[(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T \mathbf{\Sigma}^{-1} (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})]^2\] \[\text{wobei } \mathbf{X} \text{ ein p-dimensionaler Vektor ist}\] \[\text{Test auf multivariate Normalität}\] \[\text{Wichtig für multivariate Statistik}\]

📈 Asymptotische Eigenschaften

Verteilung der Stichproben-Kurtosis:

\[\text{Für große Stichproben:}\] \[\sqrt{n}(g_2 - \gamma_2) \xrightarrow{d} N(0, \tau^2)\] \[\text{wobei } \gamma_2 \text{ die wahre Kurtosis ist}\] \[\text{Varianz: } \tau^2 = 24 \text{ (für Normalverteilung)}\] \[\text{Test: } \frac{g_2}{\sqrt{24/n}} \sim N(0,1) \text{ unter } H_0: \gamma_2 = 0\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Kurtosis:

Python (SciPy/NumPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# Verschiedene Methoden:
stats.kurtosis(data, fisher=True) # Exzess (default)
stats.kurtosis(data, fisher=False) # Raw kurtosis
stats.kurtosis(data, bias=False) # Bias-korrigiert

R:
library(moments)
kurtosis(data) # Exzess
kurtosis(data, method="sample") # Sample kurtosis

Numerische Stabilität: Welford's Algorithmus für Online-Berechnung

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Mindestens n=4 für Kurtosis-Berechnung}\] \[\text{2. Bei kleinen Stichproben: bias-korrigierte Version verwenden}\] \[\text{3. Ausreißer können Kurtosis stark beeinflussen}\] \[\text{4. Interpretation zusammen mit anderen Momenten}\] \[\text{5. Robuste Alternativen bei verdächtigen Daten}\]