Kurtosis berechnen
Online Rechner zur Berechnung der Wölbung einer Datenreihe
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Zur Berechnung geben Sie Ihre Datenreihe ein und wählen optional die Anzahl der Dezimalstellen. Dann klicken Sie auf 'Rechnen'.
Eingabeformat
Die Daten können als Zahlenreihe, durch Semikolon oder Leerzeichen getrennt, oder als Liste eingegeben werden. Auch eine Datei kann geladen werden.
Beschreibung
Die Kurtosis (deutsch: Wölbung) ist ein Maß für die "Spitzigkeit" oder "Flachheit" einer Wahrscheinlichkeitsverteilung im Vergleich zur Normalverteilung. Eine hohe Kurtosis bedeutet, dass die Verteilung spitze Gipfel und schwere Ränder (Ausreißer) hat, während eine niedrige Kurtosis auf eine flachere Verteilung hindeutet.
Formeln
Für eine Zahlenreihe \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) mit Mittelwert \( \overline{x} \) und Standardabweichung \( s \):
-
Stichproben-Kurtosis (Fisher, mit Bias-Korrektur):
\[ g_2 = \frac{n(n+1)}{(n-1)(n-2)(n-3)} \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right)^4 - \frac{3(n-1)^2}{(n-2)(n-3)} \]
-
Kurtosis der Grundgesamtheit (Population, Pearson):
\[ \text{Kurtosis} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i - \overline{x}}{s} \right)^4 - 3 \]
Legende:
- \( x_i \): Einzelner Wert
- \( \overline{x} \): Arithmetisches Mittel
- \( s \): Standardabweichung
- \( n \): Anzahl der Werte
Beispiel
Gegeben sind die Zahlen: 2, 5, 8, 7, 4
Schritt 1: Mittelwert und Standardabweichung berechnen
\(\displaystyle \overline{x} = \frac{2+5+8+7+4}{5} = 5.2 \)
\(\displaystyle s = \sqrt{ \frac{(2-5.2)^2 + (5-5.2)^2 + (8-5.2)^2 + (7-5.2)^2 + (4-5.2)^2}{5} } \approx 2.135 \)
Schritt 2: Viertes Moment berechnen
\[
\frac{1}{5} \left( \left( \frac{2-5.2}{2.135} \right)^4 + \left( \frac{5-5.2}{2.135} \right)^4 + \left( \frac{8-5.2}{2.135} \right)^4 + \left( \frac{7-5.2}{2.135} \right)^4 + \left( \frac{4-5.2}{2.135} \right)^4 \right )
\]
Das ergibt etwa 1.89.
Schritt 3: Kurtosis berechnen
\[
\text{Kurtosis} = 1.89 - 3 = -1.11
\]
Die Kurtosis dieser Zahlenreihe beträgt also -1,11. Das bedeutet, die Verteilung ist flacher als eine Normalverteilung.
Arithmetisches-Mittel, DurchschnittStreuungsmaße
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Kontraharmonisches Mittel
Log-Geometrisches Mittel
Median
Modus
Minimum und Maximum
Perzentile
Oberes Quartil
Unteres Quartil
Quantile
KurtosisKorrelation & Zusammenhang
Skewness (Statistische Schiefe)
Standardabweichung
Gepoolte Standardabweichungl
Varianz
Gepoolte Varianz
Spannweite
Interquartilsabstand (IQR)
KovarianzVerteilungsfunktionen
Korrelationskoeffizient (Pearson, Spearman)
Rangkorrelation
Empirische inverse Verteilungsfunktion CDFTest & Schätzungen
Empirische Verteilungsfunktion CDF
Five-Number Summary
T-Test (einfach)