Gepoolte Standardabweichung Rechner

📊 Formale Definition für zwei Gruppen

Für zwei Stichproben mit Größen n₁, n₂ und Standardabweichungen s₁, s₂:

\[\text{Gepoolte Varianz: } s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\] \[\text{Gepoolte Standardabweichung: } s_p = \sqrt{s_p^2}\] \[\text{Freiheitsgrade: } df = n_1 + n_2 - 2\] \[\text{Standardfehler für t-Test: } SE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}\]

🔄 Verallgemeinerung für k Gruppen

Erweiterung auf mehrere Gruppen (ANOVA):

\[\text{Gepoolte Varianz: } s_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^k (n_i-1)s_i^2}{\sum_{i=1}^k (n_i-1)}\] \[\text{Äquivalent: } s_p^2 = \frac{SS_{within}}{df_{within}}\] \[\text{wobei } SS_{within} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x_i})^2\] \[\text{und } df_{within} = \sum_{i=1}^k (n_i - 1) = N - k\]

📊 Gewichtung und Effizienz

Warum gewichtete Kombination effizienter ist:

\[\text{Gewicht der i-ten Gruppe: } w_i = n_i - 1\] \[\text{Anteil: } \frac{w_i}{\sum w_j} = \frac{n_i - 1}{\sum (n_j - 1)}\] \[\text{Effizienzgewinn: Präzisere Schätzung der gemeinsamen Varianz}\] \[\text{Var}(s_p^2) < \text{Var}(s_1^2), \text{Var}(s_2^2) \text{ (unter Homoskedastizität)}\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne gepoolte Standardabweichung
Daten: Gruppe 1: 3, 5, 7, 8 | Gruppe 2: 10, 16, 22, 27
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Gruppenstatistiken}\] \[\bar{x_1} = 5.75, \quad s_1 = 2.217, \quad n_1 = 4\] \[\bar{x_2} = 18.75, \quad s_2 = 7.366, \quad n_2 = 4\] \[\text{Schritt 2: Gepoolte Varianz}\] \[s_p^2 = \frac{(4-1) \cdot 2.217^2 + (4-1) \cdot 7.366^2}{4+4-2}\] \[= \frac{3 \cdot 4.916 + 3 \cdot 54.25}{6} = \frac{177.498}{6} = 29.583\] \[\text{Schritt 3: Gepoolte Standardabweichung}\] \[s_p = \sqrt{29.583} = 5.44\]

Interpretation: Gemeinsame Streuung beider Gruppen beträgt 5.44

📝 Beispiel 2: t-Test Anwendung

Aufgabe: Teste Unterschied zwischen zwei Gruppen
Daten: Kontrollgruppe vs. Behandlungsgruppe
Analyse:

\[\text{Mit } s_p = 5.44 \text{ aus Beispiel 1:}\] \[\text{Standardfehler: } SE = s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} = 5.44 \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = 3.85\] \[\text{Mittelwertsdifferenz: } \bar{x_1} - \bar{x_2} = 5.75 - 18.75 = -13.0\] \[\text{t-Statistik: } t = \frac{-13.0}{3.85} = -3.38\] \[\text{Freiheitsgrade: } df = 4 + 4 - 2 = 6\]

Fazit: Signifikanter Unterschied zwischen den Gruppen (|t| > t-kritisch)

📝 Beispiel 3: Ungleiche Gruppengrößen

Aufgabe: Gepoolte Standardabweichung bei unterschiedlichen n
Daten: Gruppe 1 (n=6): 85, 90, 78, 92, 88, 76 | Gruppe 2 (n=4): 82, 87, 85, 89
Analyse:

\[\text{Gruppe 1: } n_1 = 6, \bar{x_1} = 84.83, s_1 = 6.08\] \[\text{Gruppe 2: } n_2 = 4, \bar{x_2} = 85.75, s_2 = 2.87\] \[\text{Gewichte: } w_1 = 5, w_2 = 3\] \[s_p^2 = \frac{5 \cdot 36.97 + 3 \cdot 8.24}{5 + 3} = \frac{209.57}{8} = 26.20\] \[s_p = 5.12\]

Beobachtung: Größere Gruppe hat stärkeren Einfluss auf das Ergebnis

📊 Voraussetzungen und Tests

Prüfung der Annahmen für gepoolte Standardabweichung:

\[\text{Homoskedastizität (Varianzhomogenität):}\] \[\text{Levene Test: } F = \frac{\sum n_i(|\bar{Z_i}| - |\bar{Z}|)^2 / (k-1)}{\sum \sum (|Z_{ij}| - |\bar{Z_i}|)^2 / (N-k)}\] \[\text{Bartlett Test: } \chi^2 = \frac{(N-k) \ln(s_p^2) - \sum (n_i-1) \ln(s_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)}[\sum \frac{1}{n_i-1} - \frac{1}{N-k}]}\] \[\text{Faustregel: } \frac{s_{max}^2}{s_{min}^2} < 4\]

🎯 Effektstärke mit gepoolter Standardabweichung

Cohen's d und andere Effektstärkemaße:

\[\text{Cohen's d: } d = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{s_p}\] \[\text{Interpretation:}\] \[d = 0.2 \text{ (klein)}, \quad d = 0.5 \text{ (mittel)}, \quad d = 0.8 \text{ (groß)}\] \[\text{Hedge's g (bias-korrigiert): } g = d \cdot \left(1 - \frac{3}{4(n_1 + n_2) - 9}\right)\] \[\text{Glass's Δ: } \Delta = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{s_{Kontrolle}}\]

📈 Robuste Alternativen

Alternativen bei Verletzung der Annahmen:

\[\text{Welch t-Test (ungleiche Varianzen):}\] \[t = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}\] \[\text{Satterthwaite Freiheitsgrade: } df = \frac{(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2})^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)} + \frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}\] \[\text{Brown-Forsythe Test, Mann-Whitney U Test}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der gepoolten Standardabweichung:

Python (SciPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# t-Test mit gepoolter Standardabweichung:
t_stat, p_val = stats.ttest_ind(group1, group2, equal_var=True)
# Manuelle Berechnung:
pooled_std = np.sqrt(((n1-1)*s1**2 + (n2-1)*s2**2) / (n1+n2-2))

R:
# t-Test mit gepoolter Varianz
t.test(group1, group2, var.equal=TRUE)
# Manuelle Berechnung
pooled.sd <- sqrt(((n1-1)*var(group1) + (n2-1)*var(group2))/(n1+n2-2))

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Prüfe Varianzhomogenität vor Anwendung}\] \[\text{2. Bei Verletzung: Welch t-Test verwenden}\] \[\text{3. Mindestens n ≥ 2 pro Gruppe erforderlich}\] \[\text{4. Größere Gruppen haben mehr Einfluss}\] \[\text{5. Effektstärke zusammen mit p-Wert berichten}\]