Kovarianz Rechner

📊 Formale Definition der Kovarianz

Für zwei Zufallsvariablen X und Y:

\[\text{Populations-Kovarianz: } \sigma_{XY} = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)]\] \[\text{Stichproben-Kovarianz: } s_{XY} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\] \[\text{Biased Estimator: } \hat{\sigma}_{XY} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\] \[\text{Verhältnis zur Korrelation: } \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\]

🔄 Kovarianz-Matrix und multivariate Erweiterung

Kovarianz in höheren Dimensionen:

\[\text{Kovarianz-Matrix: } \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \cdots \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}\] \[\text{Stichproben-Kovarianz-Matrix: } S = \frac{1}{n-1}(X - \bar{X})^T(X - \bar{X})\] \[\text{Eigenschaften: Symmetrisch, positiv semidefinit}\] \[\text{Determinante: } |\Sigma| = \text{generalisierte Varianz}\] \[\text{Spur: } \text{tr}(\Sigma) = \sum_{i=1}^p \sigma_i^2\]

📊 Algebraische Eigenschaften

Wichtige Rechenregeln für Kovarianzen:

\[\text{Bilinearität: } \text{Cov}(aX + bY, Z) = a\text{Cov}(X,Z) + b\text{Cov}(Y,Z)\] \[\text{Varianz-Zerlegung: } \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)\] \[\text{Cauchy-Schwarz: } |\text{Cov}(X,Y)|^2 \leq \text{Var}(X)\text{Var}(Y)\] \[\text{Unabhängigkeit: } X \perp Y \Rightarrow \text{Cov}(X,Y) = 0\] \[\text{Aber: } \text{Cov}(X,Y) = 0 \not\Rightarrow X \perp Y\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne Kovarianz für X = (2, 4, 6, 8) und Y = (1, 3, 7, 11)
Methode: Schritt-für-Schritt-Berechnung
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Mittelwerte berechnen}\] \[\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = 5, \quad \bar{y} = \frac{1+3+7+11}{4} = 5.5\] \[\text{Schritt 2: Abweichungsprodukte}\] \[(2-5)(1-5.5) = (-3)(-4.5) = 13.5\] \[(4-5)(3-5.5) = (-1)(-2.5) = 2.5\] \[(6-5)(7-5.5) = (1)(1.5) = 1.5\] \[(8-5)(11-5.5) = (3)(5.5) = 16.5\] \[\text{Schritt 3: Kovarianz}\] \[\text{Cov}(X,Y) = \frac{13.5+2.5+1.5+16.5}{4-1} = \frac{34}{3} = 11.33\]

Interpretation: Positive Kovarianz zeigt gleichgerichtete Variation

📝 Beispiel 2: Korrelationsberechnung

Aufgabe: Berechne Korrelationskoeffizient aus Kovarianz
Daten: Cov(X,Y) = 11.33 aus Beispiel 1
Analyse:

\[\text{Standardabweichungen berechnen:}\] \[s_X = \sqrt{\frac{(2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2}{3}} = \sqrt{\frac{20}{3}} = 2.58\] \[s_Y = \sqrt{\frac{(1-5.5)^2+...+(11-5.5)^2}{3}} = \sqrt{\frac{50.75}{3}} = 4.11\] \[\text{Korrelationskoeffizient:}\] \[r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{s_X \cdot s_Y} = \frac{11.33}{2.58 \times 4.11} = \frac{11.33}{10.60} = 0.969\]

Fazit: Sehr starke positive Korrelation (r ≈ 0.97)

📝 Beispiel 3: Portfoliotheorie-Anwendung

Aufgabe: Berechne Portfoliorisiko mit Kovarianz
Szenario: Zwei Aktien mit Gewichten w₁ = 0.6, w₂ = 0.4
Analyse:

\[\text{Gegeben: } \sigma_1^2 = 0.04, \sigma_2^2 = 0.09, \sigma_{12} = 0.03\] \[\text{Portfolio-Varianz:}\] \[\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\sigma_{12}\] \[= (0.6)^2(0.04) + (0.4)^2(0.09) + 2(0.6)(0.4)(0.03)\] \[= 0.0144 + 0.0144 + 0.0144 = 0.0432\] \[\text{Portfolio-Standardabweichung: } \sigma_p = \sqrt{0.0432} = 0.208 = 20.8\%\]

Interpretation: Positive Kovarianz erhöht das Portfoliorisiko

📊 Robuste Kovarianz-Schätzer

Alternative Schätzmethoden bei Ausreißern:

\[\text{Spearman-Kovarianz: Basiert auf Rängen statt Werten}\] \[\text{Kendall's τ: } \tau = \frac{n_c - n_d}{\binom{n}{2}}\] \[\text{Winsorized Covariance: Ersetze Extremwerte}\] \[\text{Trimmed Covariance: Entferne α% der Extremwerte}\] \[\text{M-Estimatoren: Robuste Maximum-Likelihood-Ansätze}\]

🎯 Conditional Covariance

Bedingte Kovarianz und partielle Korrelation:

\[\text{Bedingte Kovarianz: } \text{Cov}(X,Y|Z) = E[(X-E[X|Z])(Y-E[Y|Z])|Z]\] \[\text{Partielle Korrelation: } \rho_{XY|Z} = \frac{\rho_{XY} - \rho_{XZ}\rho_{YZ}}{\sqrt{(1-\rho_{XZ}^2)(1-\rho_{YZ}^2)}}\] \[\text{Semipartielle Korrelation: Kontrolle nur einer Variable}\] \[\text{Multiple Korrelation: } R_{Y|X_1,...,X_k}^2\]

📈 Zeitreihen-Kovarianz

Autokovarianz und Kreuzkovarianz bei zeitabhängigen Daten:

\[\text{Autokovarianz: } \gamma_X(h) = \text{Cov}(X_t, X_{t+h})\] \[\text{Kreuzkovarianz: } \gamma_{XY}(h) = \text{Cov}(X_t, Y_{t+h})\] \[\text{Autokorrelation: } \rho_X(h) = \frac{\gamma_X(h)}{\gamma_X(0)}\] \[\text{Kreuzkorrelation: } \rho_{XY}(h) = \frac{\gamma_{XY}(h)}{\sqrt{\gamma_X(0)\gamma_Y(0)}}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Kovarianz:

Python (NumPy):
import numpy as np
# Kovarianz-Matrix berechnen:
cov_matrix = np.cov(X, Y, ddof=1)
# Einzelne Kovarianz:
covariance = cov_matrix[0, 1]
# Korrelationsmatrix:
corr_matrix = np.corrcoef(X, Y)
# Pandas DataFrame:
df.cov() # Kovarianz-Matrix
df.corr() # Korrelationsmatrix

R:
# Kovarianz berechnen
cov(x, y)
# Kovarianz-Matrix
cov(data_matrix)
# Korrelation
cor(x, y)
# Robuste Kovarianz
library(robustbase)
covMcd(data_matrix)

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Kovarianz-Einheiten beachten (nicht standardisiert)}\] \[\text{2. Korrelation für Stärke des Zusammenhangs nutzen}\] \[\text{3. Bei Ausreißern: robuste Alternativen verwenden}\] \[\text{4. Lineare Beziehung: Kovarianz = 0 ≠ Unabhängigkeit}\] \[\text{5. Multivariate Normalverteilung für Inferenz assumieren}\]