Empirische Verteilungsfunktion Rechner

📊 Formale Definition

Für eine Stichprobe x₁, x₂, ..., xₙ ist die empirische Verteilungsfunktion definiert als:

\[F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathbf{1}_{x_i \leq x}\] \[\text{wobei } \mathbf{1}_{x_i \leq x} = \begin{cases} 1 & \text{falls } x_i \leq x \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}\] \[\text{Eigenschaften:}\] \[0 \leq F_n(x) \leq 1 \text{ für alle } x\] \[F_n(x) \text{ ist monoton nichtfallend}\] \[\lim_{x \to -\infty} F_n(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F_n(x) = 1\]

🔄 Beziehung zur theoretischen CDF

Glivenko-Cantelli Theorem und Konvergenz:

\[\text{Glivenko-Cantelli Theorem:}\] \[\sup_{x \in \mathbb{R}} |F_n(x) - F(x)| \xrightarrow{n \to \infty} 0 \text{ fast sicher}\] \[\text{wobei } F(x) \text{ die wahre Verteilungsfunktion ist}\] \[\text{Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz Ungleichung:}\] \[P\left(\sup_{x} |F_n(x) - F(x)| > \epsilon\right) \leq 2e^{-2n\epsilon^2}\] \[\text{Konfidenzband für die wahre CDF}\]

📊 Kolmogorov-Smirnov Tests

Verwendung der empirischen CDF für Verteilungstests:

\[\text{Ein-Stichproben KS-Test:}\] \[D_n = \sup_{x} |F_n(x) - F_0(x)|\] \[\text{wobei } F_0(x) \text{ die hypothetische Verteilung ist}\] \[\text{Zwei-Stichproben KS-Test:}\] \[D_{m,n} = \sup_{x} |F_m(x) - G_n(x)|\] \[\text{Kritischer Wert: } K_\alpha = \sqrt{-\frac{1}{2}\ln(\alpha/2)}\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: CDF für Datenreihe 2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6 bei x = 5
Schritt 1: Daten sortieren
Schritt 2: Anzahl ≤ 5 bestimmen

\[\text{Originaldaten: } 2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \quad (n = 10)\] \[\text{Werte } \leq 5: \color{blue}{1, 2, 3, 3, 4, 5}, 6, 7, 8, 9\] \[\text{Anzahl } \leq 5: 6\] \[F_{10}(5) = \frac{6}{10} = 0.6 = 60\%\]

Interpretation: 60% der Daten sind ≤ 5

📝 Beispiel 2: CDF-Funktion konstruieren

Aufgabe: Vollständige CDF für kleine Datensätze
Daten: 1, 3, 3, 5
CDF-Tabelle:

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & \text{Anzahl } \leq x & F_4(x) \\ \hline x < 1 & 0 & 0.00 \\ 1 \leq x < 3 & 1 & 0.25 \\ 3 \leq x < 5 & 3 & 0.75 \\ x \geq 5 & 4 & 1.00 \\ \hline \end{array}\] \[\text{Sprünge bei: } x = 1 (+0.25), x = 3 (+0.50), x = 5 (+0.25)\]

Charakteristik: Treppenfunktion mit Sprüngen bei Datenpunkten

📝 Beispiel 3: Vergleich von Verteilungen

Aufgabe: Zwei Datensätze mit CDF vergleichen
Daten A: 1, 2, 3, 4, 5 (gleichmäßig)
Daten B: 2, 3, 3, 3, 4 (konzentriert)

\[\text{Bei } x = 3:\] \[F_A(3) = \frac{3}{5} = 0.60 \text{ (60\% der Daten A)}\] \[F_B(3) = \frac{4}{5} = 0.80 \text{ (80\% der Daten B)}\] \[\text{KS-Statistik: } D = \max_x |F_A(x) - F_B(x)| = 0.20\] \[\text{B ist "links-verschoben" gegenüber A}\]

Schlussfolgerung: Daten B haben niedrigere Werte als Daten A

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der empirischen CDF:

Python (NumPy/SciPy):
import numpy as np
from scipy import stats
# Empirische CDF:
def empirical_cdf(data, x):
  return np.mean(data <= x)
# Mit SciPy:
ecdf = stats.ecdf(data)
cdf_value = ecdf.cdf.evaluate(x)

R:
# Empirische CDF
ecdf_func <- ecdf(data)
cdf_value <- ecdf_func(x)
# Plot der ECDF
plot(ecdf_func, main="Empirische CDF")

Manual Implementation:
def empirical_cdf_function(data):
  sorted_data = np.sort(data)
  n = len(data)
  def cdf(x):
    return np.sum(sorted_data <= x) / n
  return cdf

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Große Stichproben → glattere CDF-Approximation}\] \[\text{2. Treppenfunktion mit Sprüngen bei Datenpunkten}\] \[\text{3. Duplikate führen zu größeren Sprüngen}\] \[\text{4. Interpolation zwischen Datenpunkten möglich}\] \[\text{5. Robuste Alternative zu parametrischen Verteilungen}\]