Unteres Quartil Rechner

📊 Formale Definition

Für eine sortierte Datenreihe x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ... ≤ x₍ₙ₎:

\[\text{Das untere Quartil } Q_1 \text{ ist das 25. Perzentil:}\] \[Q_1 = P_{25} = x_{(k)} + (k_{\text{frac}}) \cdot (x_{(k+1)} - x_{(k)})\] \[\text{wobei die Position } k \text{ von der Interpolationsmethode abhängt}\] \[\text{Standard (Type 6): } k = 0{,}25 \cdot (n + 1)\] \[\text{R (Type 7): } k = 0{,}25 \cdot (n - 1) + 1\]

🔄 Five-Number Summary

Das untere Quartil im Kontext der vollständigen Datencharakterisierung:

\[\text{Five-Number Summary: } \{\text{Min}, Q_1, \text{Median}, Q_3, \text{Max}\}\] \[\text{Quartile teilen Daten in vier gleiche Teile:}\] \[25\% \leq Q_1 \leq 50\% \leq Q_2 (\text{Median}) \leq 75\% \leq Q_3 \leq 100\%\] \[\text{Interquartilsabstand: } \text{IQR} = Q_3 - Q_1\]

📊 Ausreißer-Erkennung mit Q1

Verwendung des unteren Quartils zur Identifikation von Ausreißern:

\[\text{1.5-IQR-Regel für untere Ausreißer:}\] \[\text{Untere Grenze: } L = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[\text{Untere Ausreißer: } x < L\] \[\text{Extreme Ausreißer: } x < Q_1 - 3 \times \text{IQR}\] \[\text{Boxplot: Unterer "Whisker" bis min(Daten ≥ L)}\]

📝 Beispiel 1: Standard-Berechnung

Aufgabe: Berechne Q₁ von 2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6
Methode: Standard (Type 6) mit linearer Interpolation
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Sortieren}\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \quad (n = 10)\] \[\text{Schritt 2: Position berechnen}\] \[\text{Position } h = 0{,}25 \cdot (n + 1) = 0{,}25 \cdot 11 = 2{,}75\] \[\text{Schritt 3: Interpolation}\] \[Q_1 = x_{(2)} + 0{,}75 \cdot (x_{(3)} - x_{(2)}) = 2 + 0{,}75 \cdot (3 - 2) = 2{,}75\]

Interpretation: 25% der Werte sind ≤ 2,75

📝 Beispiel 2: Five-Number Summary

Aufgabe: Vollständige Quartile von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Methode: R-Standard (Type 7)
Berechnung:

\[\text{Daten: } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \quad (n = 10)\] \[\text{Type 7: } h = p \cdot (n - 1) + 1\] \[\text{Min} = 1, \quad \text{Max} = 10\] \[\text{Q₁: } h = 0{,}25 \cdot 9 + 1 = 3{,}25 \Rightarrow Q_1 = 3{,}25\] \[\text{Median: } h = 0{,}5 \cdot 9 + 1 = 5{,}5 \Rightarrow Q_2 = 5{,}5\] \[\text{Q₃: } h = 0{,}75 \cdot 9 + 1 = 7{,}75 \Rightarrow Q_3 = 7{,}75\] \[\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 7{,}75 - 3{,}25 = 4{,}5\]

Five-Number Summary: {1, 3.25, 5.5, 7.75, 10}

📝 Beispiel 3: Ausreißer-Erkennung

Aufgabe: Identifiziere Ausreißer mit Q₁-basierter Methode
Daten: -5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (mit potentiellem Ausreißer)
Berechnung:

\[\text{Sortiert: } -5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \quad (n = 10)\] \[\text{Standard-Methode (Type 6):}\] \[Q_1 = 1{,}75, \quad Q_3 = 7{,}25\] \[\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 7{,}25 - 1{,}75 = 5{,}5\] \[\text{Untere Ausreißergrenze: } L = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[L = 1{,}75 - 1{,}5 \times 5{,}5 = 1{,}75 - 8{,}25 = -6{,}5\] \[\text{Ausreißer: } -5 > -6{,}5 \Rightarrow \text{Kein Ausreißer!}\]

Fazit: Der Wert -5 ist kein unterer Ausreißer nach der 1.5-IQR-Regel

📊 Boxplot-Konstruktion

Das untere Quartil als zentraler Bestandteil von Boxplots:

\[\text{Boxplot-Komponenten:}\] \[\text{Box: von } Q_1 \text{ bis } Q_3 \text{ (IQR)}\] \[\text{Mittellinie: Median } (Q_2)\] \[\text{Unterer Whisker: von } Q_1 \text{ bis min(Daten ≥ } Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR})\] \[\text{Ausreißer: Punkte } < Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\]

🔄 Beziehung zu anderen Statistiken

Q₁ im Kontext anderer deskriptiver Statistiken:

\[\text{Vergleich mit Mittelwert bei Normalverteilung:}\] \[Q_1 \approx \mu - 0{,}674 \sigma \quad \text{(bei Normalverteilung)}\] \[\text{Schiefe-Indikator:}\] \[\text{Rechtsschief: } (\text{Mittelwert} - Q_1) > (\text{Median} - Q_1)\] \[\text{Linksschief: } (\text{Mittelwert} - Q_1) < (\text{Median} - Q_1)\] \[\text{Symmetrisch: } Q_3 - \text{Median} \approx \text{Median} - Q_1\]

📈 Robust Statistics

Robustheit des unteren Quartils:

\[\text{Breakdown Point von Q₁: 25\%}\] \[\text{Bis zu 25\% der kleinsten Werte können verändert werden}\] \[\text{ohne } Q_1 \text{ wesentlich zu beeinflussen}\] \[\text{Robuster als Mittelwert, weniger robust als Median}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung des unteren Quartils:

Python (NumPy):
import numpy as np
# Verschiedene Methoden:
np.percentile(data, 25, method='linear') # Type 7 (R)
np.percentile(data, 25, method='lower') # Type 1
np.quantile(data, 0.25) # Alias

R:
quantile(data, probs=0.25, type=7) # Default
summary(data) # Alle Quartile

Komplexität: O(n log n) mit Sortierung
Alternative: Quickselect O(n) im Durchschnitt

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Konsistente Methode in einem Projekt verwenden}\] \[\text{2. Bei kleinen Stichproben: Große Variabilität beachten}\] \[\text{3. Boxplots für visuelle Inspektion nutzen}\] \[\text{4. IQR als robustes Streuungsmaß verwenden}\] \[\text{5. Q₁ mit anderen Quantilen zusammen interpretieren}\]