Standardabweichung Rechner

📊 Formale Definition der Standardabweichung

Für eine Datenreihe x₁, x₂, ..., xₙ mit Mittelwert μ:

\[\text{Population Standardabweichung: } \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}\] \[\text{Sample Standardabweichung: } s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\] \[\text{Beziehung zur Varianz: } \sigma = \sqrt{\sigma^2}, \quad s = \sqrt{s^2}\] \[\text{wobei } \bar{x} \text{ der Stichprobenmittelwert ist}\]

🔄 Bessel-Korrektur und Bias

Warum Division durch n-1 bei Stichproben:

\[\text{Bias der Varianz: } E[s^2] = \frac{n-1}{n}\sigma^2 \text{ (bei Division durch n)}\] \[\text{Korrigierte Varianz: } s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\] \[\text{Erwartungstreue: } E[s^2] = \sigma^2\] \[\text{Standardabweichung bleibt leicht biased: } E[s] < \sigma\] \[\text{Korrektur: } c_4 = \sqrt{\frac{2}{n-1}} \frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma((n-1)/2)}\]

📊 68-95-99.7 Regel (Empirische Regel)

Standardabweichung bei Normalverteilungen:

\[\text{Bei Normalverteilung N(μ, σ):}\] \[P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0.6827 \text{ (68.27%)}\] \[P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ) ≈ 0.9545 \text{ (95.45%)}\] \[P(μ - 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ) ≈ 0.9973 \text{ (99.73%)}\] \[\text{Qualitätskontrolle: 3σ-Grenzen}\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne Standardabweichung von 3, 5, 7, 8
Methode: Population und Sample Standardabweichung
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Mittelwert}\] \[\bar{x} = \frac{3+5+7+8}{4} = 5.75\] \[\text{Schritt 2: Quadrierte Abweichungen}\] \[(3-5.75)^2 = 7.5625, \quad (5-5.75)^2 = 0.5625\] \[(7-5.75)^2 = 1.5625, \quad (8-5.75)^2 = 5.0625\] \[\text{Summe: } 14.75\] \[\text{Schritt 3: Standardabweichungen}\] \[\sigma = \sqrt{\frac{14.75}{4}} = \sqrt{3.6875} = 1.92\] \[s = \sqrt{\frac{14.75}{3}} = \sqrt{4.917} = 2.22\]

Interpretation: Datenpunkte weichen im Schnitt 1.92 (σ) bzw. 2.22 (s) vom Mittelwert ab

📝 Beispiel 2: Variationskoeffizient

Aufgabe: Vergleiche Streuung von Gewicht (kg) vs. Einkommen (€)
Daten: Gewicht: 60, 65, 70, 75, 80 kg | Einkommen: 2000, 2500, 3000, 3500, 4000 €
Berechnung:

\[\text{Gewicht: } \bar{x}_G = 70 \text{ kg}, \quad \sigma_G = 7.07 \text{ kg}\] \[\text{CV}_G = \frac{7.07}{70} \times 100\% = 10.1\%\] \[\text{Einkommen: } \bar{x}_E = 3000 \text{ €}, \quad \sigma_E = 707.1 \text{ €}\] \[\text{CV}_E = \frac{707.1}{3000} \times 100\% = 23.6\%\] \[\text{Interpretation: Einkommen variiert relativ stärker}\]

Fazit: Variationskoeffizient ermöglicht Vergleich verschiedener Größenordnungen

📝 Beispiel 3: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Produktionsqualität mit 3σ-Regel
Daten: Sollwert 100mm, σ = 0.5mm
Analyse:

\[\text{Spezifikationsgrenzen (3σ):}\] \[\text{Untere Grenze: } \mu - 3\sigma = 100 - 3(0.5) = 98.5 \text{ mm}\] \[\text{Obere Grenze: } \mu + 3\sigma = 100 + 3(0.5) = 101.5 \text{ mm}\] \[\text{Ausschussrate: } P(X < 98.5 \text{ oder } X > 101.5) ≈ 0.27\%\] \[\text{Process Capability: } C_p = \frac{\text{Toleranz}}{6\sigma}\]

Bedeutung: 99.73% der Produkte liegen innerhalb der Spezifikation

📊 Robuste Streuungsmaße

Alternativen zur Standardabweichung:

\[\text{Interquartilsabstand (IQR): } Q_3 - Q_1\] \[\text{Median Absolute Deviation: } \text{MAD} = \text{median}(|x_i - \text{median}(x)|)\] \[\text{Skalierter MAD: } \hat{\sigma} = 1.4826 \times \text{MAD}\] \[\text{Weniger empfindlich gegen Ausreißer}\] \[\text{Breakdown Point: 50% vs. 0% bei Standardabweichung}\]

🎯 Standardabweichung des Mittelwerts

Standardfehler und Konfidenzintervalle:

\[\text{Standardfehler des Mittelwerts: } SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\] \[\text{95% Konfidenzintervall: } \bar{x} \pm 1.96 \times SE\] \[\text{Bei unbekanntem σ: } \bar{x} \pm t_{α/2,n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\] \[\text{Margin of Error sinkt mit } \sqrt{n}\]

📈 Pooled Standard Deviation

Kombinierte Standardabweichung mehrerer Gruppen:

\[\text{Pooled Standard Deviation (2 Gruppen):}\] \[s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}\] \[\text{Allgemein (k Gruppen):}\] \[s_p = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^k (n_i-1)s_i^2}{\sum_{i=1}^k (n_i-1)}}\] \[\text{Anwendung in ANOVA und t-Tests}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Standardabweichung:

Python (NumPy):
import numpy as np
# Verschiedene Methoden:
np.std(data, ddof=0) # Population (σ)
np.std(data, ddof=1) # Sample (s)
np.sqrt(np.var(data)) # Über Varianz

R:
sd(data) # Sample standard deviation
sqrt(var(data)) # Equivalent

Online-Algorithmus (Welford):
M_k = M_{k-1} + (x_k - M_{k-1})/k
S_k = S_{k-1} + (x_k - M_{k-1})(x_k - M_k)

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Population vs. Sample: Kontext beachten}\] \[\text{2. Ausreißer können σ stark beeinflussen}\] \[\text{3. Bei schiefen Verteilungen: Robuste Alternativen}\] \[\text{4. Interpretation in Originaleinheiten}\] \[\text{5. Bei Vergleichen: Variationskoeffizient nutzen}\]