Median Rechner

📊 Formale Definition

Für eine sortierte Datenreihe x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ... ≤ x₍ₙ₎:

\[\text{Bei ungerader Anzahl } n = 2k+1: \quad \text{Median} = x_{(k+1)}\] \[\text{Bei gerader Anzahl } n = 2k: \quad \text{Median} = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2}\] \[\text{Allgemein: } \text{Median} = Q_{0.5} = F^{-1}(0.5)\] \[\text{Wobei } F^{-1} \text{ die Quantilsfunktion ist}\]

🔄 Robustheit-Eigenschaften

Warum der Median robust ist:

\[\text{Breakdown Point: } \epsilon^* = 50\% \quad \text{(höchstmöglich für Lagemaße)}\] \[\text{Einfluss von Ausreißern: } \lim_{x_{\text{max}} \to \infty} \text{Median} = \text{konstant}\] \[\text{Equivariance: } \text{Median}(a + bX) = a + b \cdot \text{Median}(X)\] \[\text{Bis zu } \lfloor n/2 \rfloor \text{ Ausreißer haben keinen Einfluss}\]

📊 Beziehung zu anderen Quantilen

Der Median im Kontext der Quantilsfamilie:

\[\text{Minimum} = Q_0 < Q_{0.25} < \text{Median} = Q_{0.5} < Q_{0.75} < \text{Maximum} = Q_1\] \[\text{Interquartilsabstand: } \text{IQR} = Q_{0.75} - Q_{0.25}\] \[\text{Median Absolute Deviation: } \text{MAD} = \text{Median}(|X_i - \text{Median}(X)|)\] \[\text{Five-Number Summary: } \{Q_0, Q_{0.25}, Q_{0.5}, Q_{0.75}, Q_1\}\]

📝 Beispiel 1: Ungerade Anzahl

Aufgabe: Berechne den Median von 7, 9, 12, 1, 3, 2, 14
Methode: Sortierung und Auswahl des mittleren Werts
Berechnung:

\[\text{Unsortiert: } 7, 9, 12, 1, 3, 2, 14 \quad (n = 7)\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, \boxed{7}, 9, 12, 14\] \[\text{Position des Medians: } \frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4\] \[\text{Median} = x_{(4)} = 7\]

Antwort: Der Median beträgt 7 (mittlerer Wert der sortierten Liste)

📝 Beispiel 2: Gerade Anzahl

Aufgabe: Berechne den Median von 1, 2, 6, 9
Methode: Mittelwert der beiden mittleren Werte
Berechnung:

\[\text{Sortiert: } 1, \boxed{2, 6}, 9 \quad (n = 4)\] \[\text{Positionen der mittleren Werte: } \frac{n}{2} = 2 \text{ und } \frac{n}{2} + 1 = 3\] \[\text{Median} = \frac{x_{(2)} + x_{(3)}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\]

Interpretation: Der Median liegt zwischen den beiden mittleren Werten

📝 Beispiel 3: Robustheit gegen Ausreißer

Aufgabe: Vergleiche Median und arithmetisches Mittel mit Ausreißer
Daten: 1, 2, 3, 4, 1000 (extremer Ausreißer)
Vergleich:

\[\text{Sortiert: } 1, 2, \boxed{3}, 4, 1000 \quad (n = 5)\] \[\text{Median} = x_{(3)} = 3\] \[\text{Arithmetisches Mittel} = \frac{1+2+3+4+1000}{5} = \frac{1010}{5} = 202\] \[\text{Ohne Ausreißer (1,2,3,4): Mittel} = 2{,}5, \text{ Median} = 2{,}5\] \[\text{Einfluss des Ausreißers: Mittel } +7900\%, \text{ Median unverändert!}\]

Fazit: Der Median bleibt robust, das arithmetische Mittel wird stark verzerrt

🎯 Entscheidungshilfe

Wann welches Lagemaß verwenden?

\[\text{Median verwenden bei:}\] \[\text{• Schiefen Verteilungen (nicht symmetrisch)}\] \[\text{• Vorhandenen Ausreißern}\] \[\text{• Ordinalen Daten}\] \[\text{• Robustheit gewünscht}\] \[\text{• "Typischer Wert" gesucht}\]

📊 Vergleich der Lagemaße

Charakteristische Unterschiede:

\[\text{Arithmetisches Mittel: Nutzt alle Werte, empfindlich für Ausreißer}\] \[\text{Median: Nur Position wichtig, robust gegen Ausreißer}\] \[\text{Modus: Häufigster Wert, bei kategorischen Daten}\] \[\text{Getrimmtes Mittel: Kompromiss zwischen Mittel und Median}\] \[\text{Bei symmetrischen Verteilungen: Mittel ≈ Median}\]

💻 Algorithmus zur Median-Berechnung

Effizienter Algorithmus in Pseudocode:

Algorithmus Median(X):
1. Sortiere Array X aufsteigend → X_sorted
2. n = Länge(X_sorted)
3. Falls n ungerade:
   return X_sorted[(n-1)/2]
4. Falls n gerade:
   return (X_sorted[n/2-1] + X_sorted[n/2]) / 2

Komplexität: O(n log n) wegen Sortierung
Quickselect-Alternative: O(n) im Durchschnitt

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Bei kleinen Datensätzen (n < 30): Vollständige Sortierung ok}\] \[\text{2. Bei großen Datensätzen: Quickselect oder approximative Methoden}\] \[\text{3. Bei gruppierten Daten: Interpolation zwischen Gruppen}\] \[\text{4. Bei diskreten Daten: Konvention für gerade Anzahl beachten}\] \[\text{5. Immer auf fehlende Werte prüfen vor der Berechnung}\]

📈 Asymptotische Eigenschaften

Statistische Eigenschaften des Medians:

\[\text{Asymptotische Normalität: } \sqrt{n}(\hat{m} - m) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{1}{4f(m)^2}\right)\] \[\text{Wobei } f(m) \text{ die Dichtefunktion am Median ist}\] \[\text{Effizienz relativ zum Mittel: } \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637 \text{ (bei Normalverteilung)}\] \[\text{Bootstrap-Konfidenzintervall möglich}\]