Gepoolte Varianz Rechner

📊 Formale Definition für zwei Gruppen

Für zwei Stichproben mit Größen n₁, n₂ und Varianzen s₁², s₂²:

\[\text{Gepoolte Varianz: } s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\] \[\text{Freiheitsgrade: } df = n_1 + n_2 - 2\] \[\text{Mean Square Error: } MSE = s_p^2\] \[\text{Sum of Squares Within: } SS_{within} = (n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2\]

🔄 ANOVA-Zerlegung der Varianz

Aufspaltung der Gesamtvarianz:

\[\text{Gesamtvarianz: } SS_{total} = SS_{between} + SS_{within}\] \[\text{Between Groups: } SS_{between} = \sum_{i=1}^k n_i(\bar{x_i} - \bar{x})^2\] \[\text{Within Groups: } SS_{within} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^{n_i} (x_{ij} - \bar{x_i})^2\] \[\text{F-Statistik: } F = \frac{MS_{between}}{MS_{within}} = \frac{SS_{between}/(k-1)}{SS_{within}/(N-k)}\]

📊 Gewichtung und Eigenschaften

Warum gewichtete Kombination sinnvoll ist:

\[\text{Gewicht der i-ten Gruppe: } w_i = n_i - 1\] \[\text{Chi-Quadrat-Verteilung: } \frac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n_i-1}\] \[\text{Additivität: } \sum_{i=1}^k \frac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{\sum(n_i-1)}\] \[\text{Erwartungstreue: } E[s_p^2] = \sigma^2 \text{ (unter Homoskedastizität)}\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne gepoolte Varianz
Daten: Gruppe 1: 3, 5, 7, 8 | Gruppe 2: 10, 16, 22, 27
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Gruppenstatistiken}\] \[\bar{x_1} = 5.75, \quad s_1^2 = 4.917, \quad n_1 = 4\] \[\bar{x_2} = 18.75, \quad s_2^2 = 54.25, \quad n_2 = 4\] \[\text{Schritt 2: Gepoolte Varianz}\] \[s_p^2 = \frac{(4-1) \cdot 4.917 + (4-1) \cdot 54.25}{4+4-2}\] \[= \frac{3 \cdot 4.917 + 3 \cdot 54.25}{6} = \frac{177.501}{6} = 29.58\] \[\text{Schritt 3: Mean Square Error}\] \[MSE = s_p^2 = 29.58\]

Interpretation: Gemeinsame Varianz beider Gruppen beträgt 29.58

📝 Beispiel 2: F-Test Anwendung

Aufgabe: Teste Unterschied zwischen Gruppenmittelwerten
Daten: Zwei Behandlungsgruppen
Analyse:

\[\text{Mit } s_p^2 = 29.58 \text{ aus Beispiel 1:}\] \[\text{Grand Mean: } \bar{x} = \frac{4 \cdot 5.75 + 4 \cdot 18.75}{8} = 12.25\] \[\text{SS Between: } 4(5.75-12.25)^2 + 4(18.75-12.25)^2 = 338\] \[\text{SS Within: } 6 \cdot 29.58 = 177.48\] \[\text{F-Statistik: } F = \frac{338/1}{177.48/6} = \frac{338}{29.58} = 11.43\] \[\text{df: } (1, 6), \quad F_{krit}(0.05) = 5.99\]

Fazit: F > F_kritisch → Signifikanter Unterschied zwischen Gruppen

📝 Beispiel 3: Ungleiche Gruppengrößen

Aufgabe: Gepoolte Varianz bei unterschiedlichen Stichprobengrößen
Daten: Gruppe 1 (n=6): 85, 90, 78, 92, 88, 76 | Gruppe 2 (n=4): 82, 87, 85, 89
Analyse:

\[\text{Gruppe 1: } n_1 = 6, \bar{x_1} = 84.83, s_1^2 = 36.97\] \[\text{Gruppe 2: } n_2 = 4, \bar{x_2} = 85.75, s_2^2 = 8.25\] \[\text{Gewichte: } w_1 = 5, w_2 = 3\] \[s_p^2 = \frac{5 \cdot 36.97 + 3 \cdot 8.25}{5 + 3} = \frac{209.6}{8} = 26.20\] \[\text{MSE} = 26.20\]

Beobachtung: Größere Gruppe dominiert die gepoolte Varianz

📊 Voraussetzungen und Tests

Prüfung der Annahmen für gepoolte Varianz:

\[\text{Homoskedastizität-Tests:}\] \[\text{Levene Test: } F = \frac{\sum n_i(\bar{Z_i} - \bar{Z})^2 / (k-1)}{\sum \sum (Z_{ij} - \bar{Z_i})^2 / (N-k)}\] \[\text{Bartlett Test: } \chi^2 = \frac{(N-k) \ln(s_p^2) - \sum (n_i-1) \ln(s_i^2)}{1 + \frac{1}{3(k-1)}[\sum \frac{1}{n_i-1} - \frac{1}{N-k}]}\] \[\text{Brown-Forsythe Test (robust)}\]

🎯 Mean Square Error in Regression

Verwendung in linearen Modellen:

\[\text{Regression MSE: } MSE = \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y_i})^2}{n-p-1}\] \[\text{R-Quadrat: } R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = 1 - \frac{MSE \cdot df_{res}}{SS_{tot}}\] \[\text{Adjusted R²: } R_{adj}^2 = 1 - \frac{MSE}{s_y^2}\] \[\text{F-Test: } F = \frac{MS_{model}}{MSE}\]

📈 Robuste Alternativen

Alternativen bei Verletzung der Annahmen:

\[\text{Welch ANOVA (ungleiche Varianzen):}\] \[\text{Gewichtete Mittel: } w_i = \frac{n_i}{s_i^2}\] \[\text{Brown-Forsythe-Statistik}\] \[\text{Kruskal-Wallis Test (non-parametrisch)}\] \[\text{Robuste ANOVA (Trimmed Means)}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der gepoolten Varianz:

Python (SciPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# ANOVA mit gepoolter Varianz:
f_stat, p_val = stats.f_oneway(group1, group2)
# Manuelle Berechnung:
def pooled_variance(groups):
  n_total = sum(len(g) for g in groups)
  k = len(groups)
  ss_within = sum((len(g)-1)*np.var(g, ddof=1) for g in groups)
  return ss_within / (n_total - k)

R:
# ANOVA mit gepoolter Varianz
aov_result <- aov(value ~ group, data=df)
# MSE extrahieren
mse <- sum(aov_result$residuals^2) / aov_result$df.residual

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Prüfe Varianzhomogenität vor Anwendung}\] \[\text{2. Bei Verletzung: Welch ANOVA verwenden}\] \[\text{3. Mindestens n ≥ 2 pro Gruppe erforderlich}\] \[\text{4. Größere Gruppen dominieren Ergebnis}\] \[\text{5. MSE ist Schätzer für gemeinsame Varianz}\]