Logarithmisches Geometrisches Mittel Rechner

📊 Mathematische Äquivalenz

Beweis der Identität zwischen direkter und logarithmischer Berechnung:

\[\text{Direktes geometrisches Mittel: } G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\] \[\text{Logarithmisch: } \ln(G) = \ln\left((x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n}\right)\] \[\ln(G) = \frac{1}{n} \ln(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)\] \[\ln(G) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\] \[G = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right)\]

🔄 Numerische Stabilität

Warum die logarithmische Methode stabiler ist:

\[\text{Problem bei direkter Berechnung:}\] \[\text{Große Zahlen: } 10^6 \times 10^6 \times 10^6 = 10^{18} \text{ (Überlauf möglich)}\] \[\text{Kleine Zahlen: } 10^{-6} \times 10^{-6} \times 10^{-6} = 10^{-18} \text{ (Unterlauf möglich)}\] \[\text{Logarithmische Lösung:}\] \[\ln(10^6) + \ln(10^6) + \ln(10^6) = 6\ln(10) + 6\ln(10) + 6\ln(10) = 18\ln(10)\] \[\text{Kein Überlauf/Unterlauf in der Zwischenrechnung!}\]

📊 Algorithmische Implementierung

Schritte der logarithmischen Berechnung:

\[\text{Schritt 1: } \forall i: y_i = \ln(x_i) \quad \text{(Logarithmierung)}\] \[\text{Schritt 2: } \overline{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i \quad \text{(Arithmetisches Mittel der Logs)}\] \[\text{Schritt 3: } G = e^{\overline{y}} \quad \text{(Exponentiierung)}\] \[\text{Eigenschaften: Numerisch stabil, skalierbar, präzise}\]

📝 Beispiel 1: Große Zahlen

Aufgabe: Berechne das geometrische Mittel von 1.000, 10.000, 100.000
Problem: Direktes Produkt = 10^15 (Überlaufgefahr)
Logarithmische Lösung:

\[\text{Werte: } x_1 = 1000, x_2 = 10000, x_3 = 100000\] \[\text{Logarithmen: } \ln(1000) \approx 6{,}91, \ln(10000) \approx 9{,}21, \ln(100000) \approx 11{,}51\] \[\text{Mittelwert der Logs: } \frac{6{,}91 + 9{,}21 + 11{,}51}{3} = \frac{27{,}63}{3} = 9{,}21\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = e^{9{,}21} \approx 10{,}000\] \[\text{Verifikation: } \sqrt[3]{1000 \times 10000 \times 100000} = \sqrt[3]{10^{15}} = 10^5 = 10{,}000\]

Vorteil: Keine Zwischenergebnisse mit Überlaufgefahr

📝 Beispiel 2: Viele Wachstumsraten

Aufgabe: 20 jährliche Wachstumsraten zwischen 1,02 und 1,08
Vorteil: Präzise Berechnung ohne Rundungsfehler
Berechnung:

\[\text{Raten: } 1{,}05, 1{,}03, 1{,}08, 1{,}02, \ldots \text{ (20 Werte)}\] \[\text{Logarithmische Berechnung vermeidet:}\] \[\text{• Rundungsfehler bei 20 Multiplikationen}\] \[\text{• Präzisionsverlust durch wiederholte Multiplikation}\] \[\text{• Instabilität bei ähnlichen Werten}\] \[\text{Ergebnis: Höhere Genauigkeit und Stabilität}\]

Anwendung: Durchschnittliche jährliche Wachstumsrate über 20 Jahre

📝 Beispiel 3: Extreme Wertebereiche

Aufgabe: Mische sehr kleine und sehr große Zahlen: 0,001; 50; 5000; 0,01
Problem: Direkte Berechnung numerisch instabil
Logarithmische Lösung:

\[\text{Werte: } 0{,}001, 50, 5000, 0{,}01\] \[\text{Logarithmen: } \ln(0{,}001) \approx -6{,}91, \ln(50) \approx 3{,}91\] \[\ln(5000) \approx 8{,}52, \ln(0{,}01) \approx -4{,}61\] \[\text{Mittelwert: } \frac{-6{,}91 + 3{,}91 + 8{,}52 + (-4{,}61)}{4} = \frac{0{,}91}{4} = 0{,}23\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = e^{0{,}23} \approx 1{,}26\]

Vorteil: Stabile Berechnung trotz extremer Wertebereiche

🎯 Entscheidungskriterien

Wann die logarithmische Methode bevorzugen?

\[\text{Logarithmische Berechnung empfohlen bei:}\] \[\text{• Sehr große Zahlen (> 10^6)}\] \[\text{• Sehr kleine Zahlen (< 10^{-6})}\] \[\text{• Vielen Datenpunkten (> 100)}\] \[\text{• Extremen Wertebereichen}\] \[\text{• Kritischen Genauigkeitsanforderungen}\]

📊 Computational Complexity

Vergleich der Berechnungsaufwände:

\[\text{Direktes geometrisches Mittel: } O(n) \text{ Multiplikationen + } O(1) \text{ Wurzel}\] \[\text{Logarithmisches Mittel: } O(n) \text{ Logarithmen + } O(n) \text{ Additionen + } O(1) \text{ Exponential}\] \[\text{Speicher: Beide } O(1) \text{ (konstanter Speicherbedarf)}\] \[\text{Stabilität: Logarithmisch >> Direkt bei extremen Werten}\]

💻 Code-Beispiele

Effiziente Implementierungen:

Python:
import math
def log_geometric_mean(values):
  if any(x <= 0 for x in values):
    raise ValueError("All values must be positive")
  log_sum = sum(math.log(x) for x in values)
  return math.exp(log_sum / len(values))

JavaScript:
function logGeometricMean(values) {
  const logSum = values.reduce((sum, x) => sum + Math.log(x), 0);
  return Math.exp(logSum / values.length);
}

R:
log_geometric_mean <- function(x) {
  exp(mean(log(x)))
}

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die optimale Nutzung:

\[\text{1. Immer auf positive Werte prüfen vor der Berechnung}\] \[\text{2. Bei sehr vielen Werten (> 10^6) Streaming-Algorithmen verwenden}\] \[\text{3. Logarithmus zur Basis e (natürlicher Logarithmus) verwenden}\] \[\text{4. Bei kritischen Anwendungen Genauigkeit gegen Performance abwägen}\] \[\text{5. Numerische Stabilität durch Zwischenergebnis-Kontrolle überwachen}\]