Spannweite Rechner

📊 Formale Definition der Spannweite

Für eine Datenreihe x₁, x₂, ..., xₙ:

\[\text{Spannweite (Range): } R = \max(x_1, x_2, ..., x_n) - \min(x_1, x_2, ..., x_n)\] \[\text{Mathematisch: } R = x_{(n)} - x_{(1)}\] \[\text{wobei } x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq ... \leq x_{(n)} \text{ die Ordnungsstatistiken sind}\] \[\text{Relative Range: } R_{rel} = \frac{R}{|\bar{x}|} \times 100\%\]

🔄 Verteilung der Spannweite

Statistische Eigenschaften der Range-Statistik:

\[\text{Erwartungswert: } E[R] = \int_{-\infty}^{\infty} [F(x)]^n - [F(x)]^{n-1} dx\] \[\text{Für Normalverteilung: } E[R] \approx d_n \cdot \sigma\] \[\text{wobei } d_n \text{ der Erwartungsfaktor für Range ist}\] \[\text{Beispiele: } d_2 = 1.128, d_5 = 2.326, d_{10} = 3.078\] \[\text{Asymptotisch: } d_n \approx \sqrt{2\ln(n)}\]

📊 Vergleich mit anderen Streuungsmaßen

Spannweite im Kontext anderer Maße:

\[\text{Spannweite: } R = x_{max} - x_{min}\] \[\text{Interquartilsabstand: } IQR = Q_3 - Q_1\] \[\text{Standardabweichung: } \sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum(x_i - \mu)^2}\] \[\text{Verhältnis für Normalverteilung: } \frac{R}{\sigma} \approx d_n\] \[\text{Effizienz: } \text{Eff}(R) = \frac{\text{Var}(\sigma_{optimal})}{\text{Var}(\sigma_{Range})} \to 0 \text{ für } n \to \infty\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne Spannweite von 7, 9, 12, 1, 3, 2, 14
Methode: Maximum und Minimum identifizieren
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Daten sortieren}\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, 7, 9, 12, 14\] \[\text{Schritt 2: Extremwerte identifizieren}\] \[\text{Maximum: } x_{max} = 14\] \[\text{Minimum: } x_{min} = 1\] \[\text{Schritt 3: Spannweite berechnen}\] \[R = 14 - 1 = 13\]

Interpretation: Die Daten erstrecken sich über eine Spannweite von 13 Einheiten

📝 Beispiel 2: Ausreißereffekt

Aufgabe: Vergleiche Spannweite mit und ohne Ausreißer
Daten: Normale Werte: 10, 12, 11, 13, 9 | Mit Ausreißer: 10, 12, 11, 13, 9, 100
Analyse:

\[\text{Ohne Ausreißer: } R_1 = 13 - 9 = 4\] \[\text{Mit Ausreißer: } R_2 = 100 - 9 = 91\] \[\text{Relative Änderung: } \frac{R_2 - R_1}{R_1} = \frac{91 - 4}{4} = 2175\%\] \[\text{Standardabweichung ohne: } \sigma_1 \approx 1.58\] \[\text{Standardabweichung mit: } \sigma_2 \approx 36.97\] \[\text{Relative Änderung σ: } \frac{\sigma_2 - \sigma_1}{\sigma_1} = 2240\%\]

Fazit: Beide Maße sind empfindlich, aber Range reagiert extremer

📝 Beispiel 3: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Überwachung von Produktionstoleranz
Szenario: Sollwert 100mm, Toleranz ±5mm
Analyse:

\[\text{Messwerte: } 98.2, 101.1, 99.8, 100.5, 99.2, 101.8, 98.9\] \[\text{Minimum: } 98.2\text{mm}\] \[\text{Maximum: } 101.8\text{mm}\] \[\text{Spannweite: } R = 101.8 - 98.2 = 3.6\text{mm}\] \[\text{Toleranzbereich: } 10\text{mm (95mm bis 105mm)}\] \[\text{Ausnutzung: } \frac{3.6}{10} = 36\%\]

Bewertung: Prozess nutzt nur 36% der erlaubten Toleranz - sehr stabil

📊 Robuste Alternativen zur Spannweite

Weniger ausreißerempfindliche Streuungsmaße:

\[\text{Interquartilsabstand: } IQR = Q_3 - Q_1\] \[\text{Trimmed Range: } R_{trim} = x_{(n-k)} - x_{(k+1)}\] \[\text{Winsorized Range: Ersetze Extremwerte durch Perzentile}\] \[\text{MAD Range: } 2 \times 1.4826 \times \text{MAD}\] \[\text{Breakdown Point: } 50\% \text{ vs. } 0\% \text{ für Range}\]

🎯 Range in Kontrollkarten

Verwendung in statistischer Prozesskontrolle:

\[\text{R-Chart (Range Chart):}\] \[\text{Zentrale Linie: } \bar{R} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m R_i\] \[\text{Obere Kontrollgrenze: } UCL_R = D_4 \bar{R}\] \[\text{Untere Kontrollgrenze: } LCL_R = D_3 \bar{R}\] \[\text{Kontrollfaktoren: } D_3, D_4 \text{ abhängig von Subgruppengröße}\]

📈 Normalisierte Range

Vergleichbare Spannweiten für verschiedene Datensätze:

\[\text{Standardisierte Range: } R^* = \frac{R}{\sigma}\] \[\text{Coefficient of Range: } CR = \frac{R}{\bar{x}} \times 100\%\] \[\text{Relative Range: } RR = \frac{R}{x_{max}} \times 100\%\] \[\text{Log Range: } \ln\left(\frac{x_{max}}{x_{min}}\right)\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Spannweite:

Python (NumPy):
import numpy as np
# Einfache Berechnung:
range_val = np.max(data) - np.min(data)
# Oder mit ptp (peak-to-peak):
range_val = np.ptp(data)
# Robuste Alternative:
q75, q25 = np.percentile(data, [75, 25])
iqr = q75 - q25

R:
# Spannweite
range_val <- max(data) - min(data)
# Oder mit range() Funktion
range_val <- diff(range(data))
# IQR Alternative
iqr_val <- IQR(data)

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Prüfe auf Ausreißer vor Interpretation}\] \[\text{2. Verwende IQR bei schiefen Verteilungen}\] \[\text{3. Range gut für erste Datenexploration}\] \[\text{4. Bei großen n: ineffizient}\] \[\text{5. Kombiniere mit anderen Streuungsmaßen}\]