Minimum und Maximum Rechner

⬇️⬆️ Formale Definition

Für eine Datenreihe x₁, x₂, ..., xₙ:

\[\text{Minimum: } \min(X) = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\] \[\text{Maximum: } \max(X) = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\] \[\text{Spannweite: } R = \max(X) - \min(X)\] \[\text{Als Ordnungsstatistiken: } x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \ldots \leq x_{(n)}\] \[\text{Dabei: } \min(X) = x_{(1)}, \max(X) = x_{(n)}\]

📏 Spannweite und Streuung

Die Spannweite als einfachstes Streuungsmaß:

\[\text{Spannweite (Range): } R = \max(X) - \min(X)\] \[\text{Eigenschaften der Spannweite:}\] \[R \geq 0 \quad \text{(immer nicht-negativ)}\] \[R = 0 \iff \text{alle Werte sind identisch}\] \[\text{Normierte Spannweite: } \frac{R}{\overline{x}} \quad \text{(Variationskoeffizient-ähnlich)}\]

📊 Ordnungsstatistiken

Minimum und Maximum im Kontext der Ordnungsstatistiken:

\[\text{Sortierte Reihenfolge: } x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \ldots \leq x_{(n)}\] \[\text{Minimum: } x_{(1)} \quad \text{(1. Ordnungsstatistik)}\] \[\text{Maximum: } x_{(n)} \quad \text{(n-te Ordnungsstatistik)}\] \[\text{Five-Number Summary: } \{x_{(1)}, Q_1, \text{Median}, Q_3, x_{(n)}\}\] \[\text{Quantile: } Q_0 = x_{(1)}, Q_1 = x_{(n)}\]

📝 Beispiel 1: Einfache Zahlenreihe

Aufgabe: Bestimme Min/Max von 13, 53, 8, 7, 33, 35, 26, 63, 43, 6, 34
Methode: Direkte Suche nach kleinsten und größten Werten
Berechnung:

\[\text{Unsortiert: } 13, 53, 8, 7, 33, 35, 26, 63, 43, 6, 34\] \[\text{Sortiert: } 6, 7, 8, 13, 26, 33, 34, 35, 43, 53, 63\] \[\text{Minimum: } \min = 6\] \[\text{Maximum: } \max = 63\] \[\text{Spannweite: } R = 63 - 6 = 57\]

Antwort: Min = 6, Max = 63, Spannweite = 57

📝 Beispiel 2: Mit Extremwerten

Aufgabe: Analyse von 1, 2, 3, 4, 100, 5, 6 (mit Ausreißer)
Fokus: Einfluss von Extremwerten auf die Spannweite
Berechnung:

\[\text{Daten: } 1, 2, 3, 4, 100, 5, 6\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 100\] \[\text{Minimum: } \min = 1\] \[\text{Maximum: } \max = 100\] \[\text{Spannweite: } R = 100 - 1 = 99\] \[\text{Ohne Ausreißer (1-6): } R_{\text{ohne}} = 6 - 1 = 5\] \[\text{Einfluss des Ausreißers: } \frac{99}{5} = 1980\% \text{ Vergrößerung}\]

Fazit: Ein einzelner Ausreißer kann die Spannweite dramatisch vergrößern

📝 Beispiel 3: Negative Zahlen

Aufgabe: Min/Max bei negativen Werten: -10, -5, 0, 5, 10, 15
Besonderheit: Umgang mit negativen Zahlen
Berechnung:

\[\text{Daten: } -10, -5, 0, 5, 10, 15\] \[\text{Bereits sortiert: } -10, -5, 0, 5, 10, 15\] \[\text{Minimum: } \min = -10 \quad \text{(kleinste, nicht größte negative Zahl!)}\] \[\text{Maximum: } \max = 15\] \[\text{Spannweite: } R = 15 - (-10) = 25\] \[\text{Bereich: } [-10, 15] \text{ umfasst Null}\]

Wichtig: Bei negativen Zahlen ist das "kleinste" die betragsmäßig größte negative Zahl

🎯 1.5-IQR-Regel

Standardmethode zur Ausreißer-Identifikation:

\[\text{Berechne Quartile: } Q_1, Q_3\] \[\text{Interquartilsabstand: } \text{IQR} = Q_3 - Q_1\] \[\text{Ausreißer-Grenzen:}\] \[\text{Untere Grenze: } L = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[\text{Obere Grenze: } U = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[\text{Ausreißer: } x < L \text{ oder } x > U\]

📊 Z-Score-Methode

Alternative Ausreißer-Erkennung über Standardabweichungen:

\[\text{Z-Score: } z_i = \frac{x_i - \overline{x}}{s}\] \[\text{Ausreißer-Kriterium: } |z_i| > 2 \text{ oder } |z_i| > 3\] \[\text{Besonders extreme Werte: } |z_i| > 3\] \[\text{Vorteil: Berücksichtigt gesamte Verteilung}\]

📈 Getrimmte Extremwerte

Robustere Versionen durch Trimming:

\[\text{5\%-Trimmed Min/Max: Ignoriere äußerste 5\% der Werte}\] \[\text{10\%-Trimmed Min/Max: Ignoriere äußerste 10\% der Werte}\] \[\text{Winsorized Min/Max: Ersetze Extremwerte durch weniger extreme}\] \[\text{Perzentil-basiert: P_{2.5} \text{ und } P_{97.5} \text{ statt Min/Max}\]

💡 Praktische Tipps

Hinweise für den korrekten Umgang mit Extremwerten:

\[\text{1. Immer Daten visualisieren vor Interpretation}\] \[\text{2. Ausreißer prüfen: Messfehler oder echte Extremwerte?}\] \[\text{3. Bei schiefen Verteilungen: Quartile zusätzlich betrachten}\] \[\text{4. Spannweite allein kann irreführend sein}\] \[\text{5. Robuste Alternativen bei vielen Ausreißern erwägen}\]

💻 Algorithmen

Effiziente Berechnung von Min/Max:

Einfacher Algorithmus:
min_val = data[0]
max_val = data[0]
for each x in data:
  if x < min_val: min_val = x
  if x > max_val: max_val = x

Komplexität: O(n) Zeit, O(1) Speicher
Optimierungen: SIMD, parallele Verarbeitung möglich