Perzentile Rechner

📊 Formale Definition

Für eine sortierte Datenreihe x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ... ≤ x₍ₙ₎:

\[\text{Das p-te Perzentil } P_p \text{ ist definiert als:}\] \[P_p = x_{(k)} + (k_{\text{frac}}) \cdot (x_{(k+1)} - x_{(k)})\] \[\text{wobei die Position } k \text{ von der Interpolationsmethode abhängt}\] \[\text{Standard (Type 6): } k = p \cdot (n + 1) / 100\] \[\text{R (Type 7): } k = p \cdot (n - 1) / 100 + 1\]

🔄 Interpolationsmethoden im Detail

Die verschiedenen Quantile-Berechnungsmethoden:

\[\text{Type 1 (Inverse CDF): } h = np, \quad Q_p = x_{(\lceil h \rceil)}\] \[\text{Type 4 (Linear CDF): } h = np, \quad Q_p = x_{(\lfloor h \rfloor)} + (h - \lfloor h \rfloor)(x_{(\lfloor h \rfloor + 1)} - x_{(\lfloor h \rfloor)})\] \[\text{Type 6 (Standard): } h = (n+1)p, \quad \text{dann Interpolation}\] \[\text{Type 7 (R default): } h = (n-1)p + 1, \quad \text{dann Interpolation}\] \[\text{Type 8 (Maple): } h = (n + 1/3)p + 1/3, \quad \text{dann Interpolation}\]

📊 Beziehung zu anderen Statistiken

Perzentile im statistischen Kontext:

\[\text{Quartile: } Q_1 = P_{25}, \quad Q_2 = P_{50} = \text{Median}, \quad Q_3 = P_{75}\] \[\text{Dezile: } D_k = P_{10k} \text{ für } k = 1, 2, \ldots, 9\] \[\text{Five-Number Summary: } \{P_0, P_{25}, P_{50}, P_{75}, P_{100}\}\] \[\text{IQR (Interquartilsabstand): } \text{IQR} = Q_3 - Q_1 = P_{75} - P_{25}\]

📝 Beispiel 1: 40. Perzentil berechnen

Aufgabe: Berechne P₄₀ von 2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6
Methode: Standard (Type 6) mit linearer Interpolation
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Sortieren}\] \[\text{Sortiert: } 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \quad (n = 10)\] \[\text{Schritt 2: Position berechnen}\] \[\text{Position } h = p \cdot (n + 1) = 0{,}40 \cdot (10 + 1) = 4{,}4\] \[\text{Schritt 3: Interpolation}\] \[P_{40} = x_{(4)} + 0{,}4 \cdot (x_{(5)} - x_{(4)}) = 3 + 0{,}4 \cdot (4 - 3) = 3{,}4\]

Interpretation: 40% der Werte sind ≤ 3,4

📝 Beispiel 2: Quartile einer Verteilung

Aufgabe: Berechne Q₁, Q₂, Q₃ von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Methode: R-Standard (Type 7)
Berechnung:

\[\text{Daten bereits sortiert: } 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \quad (n = 10)\] \[\text{Type 7: } h = (n - 1) \cdot p + 1\] \[\text{Q₁ (P₂₅): } h = (10-1) \cdot 0{,}25 + 1 = 3{,}25\] \[Q_1 = x_{(3)} + 0{,}25 \cdot (x_{(4)} - x_{(3)}) = 3 + 0{,}25 \cdot 1 = 3{,}25\] \[\text{Q₂ (P₅₀): } h = 9 \cdot 0{,}5 + 1 = 5{,}5\] \[Q_2 = 5 + 0{,}5 \cdot 1 = 5{,}5 \text{ (Median)}\] \[\text{Q₃ (P₇₅): } h = 9 \cdot 0{,}75 + 1 = 7{,}75\] \[Q_3 = 7 + 0{,}75 \cdot 1 = 7{,}75\]

IQR: Q₃ - Q₁ = 7,75 - 3,25 = 4,5

📝 Beispiel 3: Methodenvergleich

Aufgabe: Vergleiche verschiedene Interpolationsmethoden
Daten: 1, 2, 3, 4, 5 (n=5) für P₅₀ (Median)
Vergleich:

\[\text{Type 1: } P_{50} = x_{(\lceil 5 \cdot 0{,}5 \rceil)} = x_{(3)} = 3\] \[\text{Type 4: } h = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5, \quad P_{50} = x_{(2)} + 0{,}5 \cdot (x_{(3)} - x_{(2)}) = 2{,}5\] \[\text{Type 6: } h = 6 \cdot 0{,}5 = 3, \quad P_{50} = x_{(3)} = 3\] \[\text{Type 7: } h = 4 \cdot 0{,}5 + 1 = 3, \quad P_{50} = x_{(3)} = 3\] \[\text{Type 8: } h = 5{,}33 \cdot 0{,}5 + 0{,}33 = 3, \quad P_{50} = x_{(3)} = 3\]

Fazit: Bei ungerader Anzahl oft identisch, bei gerader Anzahl unterschiedlich

📊 Empirische Verteilungsfunktion

Beziehung zwischen Perzentilen und CDF:

\[\text{Empirische CDF: } F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbb{I}(X_i \leq x)\] \[\text{Quantilsfunktion: } Q(p) = F_n^{-1}(p) = \inf\{x : F_n(x) \geq p\}\] \[\text{Beziehung: } P_p = Q(p/100)\] \[\text{Glivenko-Cantelli: } \sup_x |F_n(x) - F(x)| \to 0 \text{ fast sicher}\]

🎯 Ausreißer-Erkennung mit Quantilen

1.5-IQR-Regel und Perzentil-basierte Methoden:

\[\text{IQR-Methode:}\] \[\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = P_{75} - P_{25}\] \[\text{Untere Grenze: } L = Q_1 - 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[\text{Obere Grenze: } U = Q_3 + 1{,}5 \times \text{IQR}\] \[\text{Perzentil-Methode:}\] \[\text{Moderate Ausreißer: } x < P_{2{,}5} \text{ oder } x > P_{97{,}5}\] \[\text{Extreme Ausreißer: } x < P_{0{,}5} \text{ oder } x > P_{99{,}5}\]

📈 Asymptotische Eigenschaften

Verhalten der Stichproben-Quantile:

\[\text{Asymptotische Normalität:}\] \[\sqrt{n}(\hat{Q}_p - Q_p) \xrightarrow{d} N\left(0, \frac{p(1-p)}{f(Q_p)^2}\right)\] \[\text{wobei } f \text{ die Dichtefunktion an } Q_p \text{ ist}\] \[\text{Konfidenzintervall:}\] \[\hat{Q}_p \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n \cdot f(\hat{Q}_p)^2}}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung von Quantilen:

Python (NumPy/SciPy):
import numpy as np
# Verschiedene Methoden:
np.percentile(data, p, method='linear') # Type 7 (R)
np.percentile(data, p, method='lower') # Type 1
np.percentile(data, p, method='higher') # Type 3
np.quantile(data, p/100) # Alias

R:
quantile(data, probs=p/100, type=7) # Default
quantile(data, probs=p/100, type=6) # Excel-like

Komplexität: O(n log n) mit Sortierung
Online-Algorithmen: P²-Algorithmus O(1) Speicher

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Methode konsistent wählen (Software-abhängig)}\] \[\text{2. Bei kleinen Stichproben: Große Unsicherheit beachten}\] \[\text{3. Visualisierung: Boxplots für Quartile}\] \[\text{4. Ausreißer-Behandlung vor Quantils-Berechnung}\] \[\text{5. Bootstrap für Konfidenzintervalle bei kleinen n}\]