Skewness Rechner

📊 Formale Definition der Skewness

Für eine Datenreihe x₁, x₂, ..., xₙ mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ:

\[\text{Drittes zentrales Moment: } \mu_3 = E[(X - \mu)^3]\] \[\text{Skewness: } \gamma_1 = \frac{\mu_3}{\sigma^3}\] \[\text{Für Stichproben: } g_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3\] \[\text{wobei } \bar{x} \text{ der Stichprobenmittelwert und } s \text{ die Standardabweichung ist}\]

🔄 Bias-korrigierte Stichproben-Skewness

Korrektur für kleine Stichproben (Adjusted Fisher-Pearson Methode):

\[\text{Sample Skewness: } G_1 = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i - \bar{x}}{s}\right)^3\] \[\text{wobei der Faktor } \frac{n}{(n-1)(n-2)} \text{ die Bias-Korrektur darstellt}\] \[\text{Für große n: } G_1 \approx g_1\] \[\text{Minimum n = 3 für definierte Berechnung}\]

📊 Verteilungstypen nach Skewness

Klassifikation von Verteilungen basierend auf der Asymmetrie:

\[\text{Rechtsschief (γ₁ > 0):}\] \[\text{Langer Ausläufer nach rechts, Mittelwert > Median}\] \[\text{Beispiel: Log-Normalverteilung, Exponentialverteilung}\] \[\text{Symmetrisch (γ₁ = 0):}\] \[\text{Gleichmäßige Verteilung um den Mittelwert}\] \[\text{Beispiel: Normalverteilung, t-Verteilung}\] \[\text{Linksschief (γ₁ < 0):}\] \[\text{Langer Ausläufer nach links, Mittelwert < Median}\] \[\text{Beispiel: Negative Exponentialverteilung, Beta-Verteilung}\]

📝 Beispiel 1: Rechtsschiefe Verteilung

Aufgabe: Berechne Skewness von 2, 3, 4, 5, 100
Methode: Population Skewness
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Mittelwert und Standardabweichung}\] \[\bar{x} = \frac{2+3+4+5+100}{5} = 22.8\] \[s = \sqrt{\frac{(2-22.8)^2 + ... + (100-22.8)^2}{5}} = 38.62\] \[\text{Schritt 2: Drittes Moment}\] \[\mu_3 = \frac{1}{5}\left[\left(\frac{-20.8}{38.62}\right)^3 + ... + \left(\frac{77.2}{38.62}\right)^3\right]\] \[\text{Schritt 3: Skewness}\] \[\text{Skewness} = \mu_3 = 1.50\]

Interpretation: Stark rechtsschief - der Ausreißer 100 verzerrt die Verteilung

📝 Beispiel 2: Symmetrische Verteilung

Aufgabe: Analyse einer symmetrischen Verteilung
Daten: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Berechnung:

\[\text{Mittelwert: } \bar{x} = 5.5\] \[\text{Standardabweichung: } s = 3.03\] \[\text{Symmetrische Anordnung um den Mittelwert}\] \[\text{Positive und negative Abweichungen gleichen sich aus}\] \[\text{Ergebnis: Skewness ≈ 0}\] \[\text{Interpretation: Symmetrische Verteilung}\]

Bedeutung: Keine Bevorzugung einer Seite der Verteilung

📝 Beispiel 3: Linksschiefe Verteilung

Aufgabe: Analyse einer linksschiefen Verteilung
Daten: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9 (Anhäufung rechts)
Analyse:

\[\text{Mittelwert: } \bar{x} = 5.73\] \[\text{Median: } 6 \text{ (größer als Mittelwert)}\] \[\text{Anhäufung der Werte im oberen Bereich}\] \[\text{Wenige kleine Werte ziehen Mittelwert nach unten}\] \[\text{Ergebnis: Negative Skewness}\] \[\text{Interpretation: Linksschief}\]

Fazit: Längerer Ausläufer nach links, Median > Mittelwert

📊 Robuste Skewness-Maße

Alternative Maße für robuste Asymmetrie-Schätzung:

\[\text{Quantile-basierte Skewness:}\] \[\text{Pearson's Second Skewness: } \frac{3(\text{Mittelwert} - \text{Median})}{\text{Standardabweichung}}\] \[\text{Bowley Skewness: } \frac{(Q_3 - Q_2) - (Q_2 - Q_1)}{Q_3 - Q_1}\] \[\text{wobei } Q_1, Q_2, Q_3 \text{ die Quartile sind}\] \[\text{Weniger empfindlich gegen Ausreißer}\]

🎯 Normalitätstests mit Skewness

Verwendung der Skewness für Verteilungstests:

\[\text{Jarque-Bera Test:}\] \[JB = \frac{n}{6}\left(S^2 + \frac{(K-3)^2}{4}\right)\] \[\text{wobei } S \text{ die Skewness und } K \text{ die Kurtosis ist}\] \[\text{D'Agostino Test:}\] \[\text{Test speziell für Skewness-basierte Normalität}\] \[\text{Shapiro-Wilk Test einschließlich Skewness-Komponente}\]

📈 Asymptotische Eigenschaften

Verteilung der Stichproben-Skewness:

\[\text{Für große Stichproben:}\] \[\sqrt{n}(g_1 - \gamma_1) \xrightarrow{d} N(0, 6)\] \[\text{wobei } \gamma_1 \text{ die wahre Skewness ist}\] \[\text{Test: } \frac{g_1}{\sqrt{6/n}} \sim N(0,1) \text{ unter } H_0: \gamma_1 = 0\] \[\text{Konfidenzintervall: } g_1 \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{6}{n}}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Skewness:

Python (SciPy/NumPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# Verschiedene Methoden:
stats.skew(data, bias=True) # Population skewness
stats.skew(data, bias=False) # Sample skewness (default)
np.mean(((data - np.mean(data)) / np.std(data))**3) # Manual

R:
library(moments)
skewness(data) # Sample skewness
skewness(data, type=1) # Population skewness

Numerische Stabilität: Welford's Algorithmus für Online-Berechnung

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Mindestens n=3 für Skewness-Berechnung}\] \[\text{2. Bei kleinen Stichproben: bias-korrigierte Version verwenden}\] \[\text{3. Ausreißer können Skewness stark beeinflussen}\] \[\text{4. Interpretation zusammen mit Kurtosis}\] \[\text{5. Robuste Alternativen bei verdächtigen Daten}\]