Harmonisches Mittel Rechner

🏃 Verschiedene Darstellungen

Das harmonische Mittel kann auf verschiedene Weise berechnet werden:

\[H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \quad \text{(Standard-Definition)}\] \[H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \quad \text{(Ausgeschrieben)}\] \[H = \frac{1}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \quad \text{(Kehrwert des arithmetischen Mittels)}\] \[\frac{1}{H} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i} \quad \text{(Kehrwert-Form)}\]

🔄 Wichtige Eigenschaften

Fundamentale mathematische Eigenschaften:

\[H \leq G \leq A \quad \text{(Mittelwert-Ungleichung)}\] \[H(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \quad \text{(Definition)}\] \[H(a \cdot x_1, a \cdot x_2, \ldots, a \cdot x_n) = a \cdot H(x_1, x_2, \ldots, x_n) \quad \text{(Homogenität)}\] \[\text{Gleichheit nur bei } x_1 = x_2 = \ldots = x_n\]

📊 Beziehung zu anderen Mittelwerten

Position in der Mittelwert-Hierarchie:

\[\text{Harmonisches } \leq \text{ Geometrisches } \leq \text{ Arithmetisches Mittel}\] \[H \leq G \leq A \quad \text{(Mittelwert-Hierarchie)}\] \[H \cdot A = G^2 \quad \text{(bei zwei Werten)}\] \[\lim_{p \to -1} M_p = H \quad \text{(Grenzfall der Hölder-Mittel)}\]

📝 Beispiel 1: Durchschnittsgeschwindigkeit

Aufgabe: Ein Auto fährt 3 gleich lange Strecken mit 60, 80 und 120 km/h. Wie hoch ist die Durchschnittsgeschwindigkeit?
Warum harmonisches Mittel? Bei gleichen Strecken ist das harmonische Mittel korrekt
Berechnung:

\[\text{Geschwindigkeiten: } v_1 = 60, v_2 = 80, v_3 = 120 \text{ km/h}\] \[\text{Kehrwerte: } \frac{1}{60} + \frac{1}{80} + \frac{1}{120} = 0{,}0167 + 0{,}0125 + 0{,}0083 = 0{,}0375\] \[\text{Harmonisches Mittel: } H = \frac{3}{0{,}0375} = 80 \text{ km/h}\] \[\text{Vergleich arithmetisch: } A = \frac{60+80+120}{3} = 86{,}67 \text{ km/h (falsch!)}\]

Antwort: Die korrekte Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 80 km/h

📝 Beispiel 2: Arbeitsraten

Aufgabe: Drei Arbeiter schaffen 10, 15 und 20 Teile pro Stunde. Wie hoch ist die durchschnittliche Produktionsrate?
Gegeben: Raten: 10, 15, 20 Teile/Stunde
Berechnung:

\[\text{Raten: } r_1 = 10, r_2 = 15, r_3 = 20 \text{ Teile/h}\] \[\text{Kehrwerte: } \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = 0{,}1 + 0{,}0667 + 0{,}05 = 0{,}2167\] \[\text{Harmonisches Mittel: } H = \frac{3}{0{,}2167} = 13{,}85 \text{ Teile/h}\] \[\text{Interpretation: Durchschnittliche Einzelrate bei gleicher Arbeitszeit}\]

Interpretation: Jeder Arbeiter produziert im Schnitt 13,85 Teile pro Stunde

📝 Beispiel 3: Preis-Leistungs-Verhältnis

Aufgabe: Drei Produkte kosten 2€, 4€ und 6€ pro Kilogramm. Wie hoch ist der durchschnittliche Preis?
Wichtig: Bei gleichem Budget ist harmonisches Mittel korrekt
Berechnung:

\[\text{Preise: } p_1 = 2, p_2 = 4, p_3 = 6 \text{ €/kg}\] \[\text{Kehrwerte: } \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}167 = 0{,}917\] \[\text{Harmonisches Mittel: } H = \frac{3}{0{,}917} = 3{,}27 \text{ €/kg}\] \[\text{Arithmetisches Mittel: } A = \frac{2+4+6}{3} = 4{,}00 \text{ €/kg}\] \[\text{Unterschied: } \frac{H}{A} = \frac{3{,}27}{4{,}00} = 81{,}8\%\]

Fazit: Das harmonische Mittel ist bei Preisen pro Einheit oft angemessener

🎯 Entscheidungshilfe

Wann welches Mittel verwenden?

\[\text{Harmonisches Mittel bei:}\] \[\text{• Raten, Geschwindigkeiten (bei gleichen Strecken/Zeiten)}\] \[\text{• Preisen pro Einheit (bei gleichem Budget)}\] \[\text{• Verhältnissen und Quotienten}\] \[\text{• Parallel geschalteten Widerständen}\] \[\text{• Kehrwert-basierten Größen}\]

📊 Vergleich der drei Mittelwerte

Charakteristische Unterschiede:

\[\text{Harmonisches Mittel: } H = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}} \quad \text{(Kehrwerte)}\] \[\text{Geometrisches Mittel: } G = \sqrt[n]{\prod x_i} \quad \text{(Multiplikation)}\] \[\text{Arithmetisches Mittel: } A = \frac{1}{n}\sum x_i \quad \text{(Addition)}\] \[\text{Reihenfolge: } H \leq G \leq A \quad \text{(mit Gleichheit nur bei gleichen Werten)}\]

🔍 Wichtige Spezialfälle

Besondere Situationen beim harmonischen Mittel:

\[\text{Zwei Werte: } H(a,b) = \frac{2ab}{a+b} \quad \text{(harmonisches Mittel)}\] \[\text{Gleiche Werte: } H(a,a,\ldots,a) = a \quad \text{(trivial)}\] \[\text{Sehr kleine Werte dominieren das Ergebnis}\] \[\text{Parallelschaltung: } \frac{1}{R_{ges}} = \sum \frac{1}{R_i} \Rightarrow R_{ges} = H(R_1, R_2, \ldots)\]

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Alle Werte müssen positiv sein (Kehrwerte erforderlich)}\] \[\text{2. Bei Geschwindigkeiten: Gleiche Strecken, nicht gleiche Zeiten}\] \[\text{3. Bei Preisen: Gleiches Budget für verschiedene Mengen}\] \[\text{4. Sehr kleine Werte dominieren das Ergebnis stark}\] \[\text{5. Interpretation als "typische Rate" oder "Durchschnittsgeschwindigkeit"}\]