Inverse Empirische Verteilungsfunktion Rechner

📊 Formale Definition

Für eine sortierte Stichprobe x₍₁₎ ≤ x₍₂₎ ≤ ... ≤ x_(n):

\[\text{Inverse empirische Verteilungsfunktion: } F_n^{-1}(p) = x_{(k)}\] \[\text{wobei } k = \lceil n \cdot p \rceil \text{ (aufrunden auf nächste ganze Zahl)}\] \[\text{Alternative: } k = \lfloor n \cdot p \rfloor + 1\] \[\text{Eigenschaften: } 0 \leq p \leq 1, \quad F_n^{-1}(p) \in \{x_{(1)}, ..., x_{(n)}\}\]

🔄 Beziehung zur Verteilungsfunktion

Zusammenhang zwischen F und F⁻¹:

\[\text{Empirische Verteilungsfunktion: } F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbf{1}_{x_i \leq x}\] \[\text{Inverse Beziehung: } F_n(F_n^{-1}(p)) \geq p\] \[\text{und } F_n^{-1}(F_n(x)) \leq x\] \[\text{Für p-Quantil: } x_p = F_n^{-1}(p)\] \[\text{Interpretation: Mindestens } 100p\% \text{ der Daten sind } \leq x_p\]

📊 Verschiedene Quantildefinitionen

Alternative Berechnungsmethoden für Quantile:

\[\text{Methode 1 (Inverted CDF): } Q(p) = x_{(\lceil np \rceil)}\] \[\text{Methode 2 (Averaging): } Q(p) = \frac{x_{(k)} + x_{(k+1)}}{2}\] \[\text{wobei } k = \lfloor np \rfloor \text{ und } k+1 = \lceil np \rceil\] \[\text{Methode 3 (Linear Interpolation):}\] \[Q(p) = x_{(k)} + (np - k)(x_{(k+1)} - x_{(k)})\] \[\text{R-Quantile: 9 verschiedene Methoden implementiert}\]

📝 Beispiel 1: Quartilberechnung

Aufgabe: Bestimme Quartile für die Datenreihe: 2, 6, 4, 8, 3, 1
Schritt 1: Sortierung
Schritt 2: Quartilberechnung

\[\text{Sortierte Daten: } 1, 2, 3, 4, 6, 8 \quad (n = 6)\] \[\text{Q1 (p = 0.25): } k = \lceil 6 \cdot 0.25 \rceil = 2 \Rightarrow Q1 = x_{(2)} = 2\] \[\text{Q2 (p = 0.50): } k = \lceil 6 \cdot 0.50 \rceil = 3 \Rightarrow Q2 = x_{(3)} = 3\] \[\text{Q3 (p = 0.75): } k = \lceil 6 \cdot 0.75 \rceil = 5 \Rightarrow Q3 = x_{(5)} = 6\]

Interpretation: 25% ≤ 2, 50% ≤ 3, 75% ≤ 6

📝 Beispiel 2: Perzentilberechnung

Aufgabe: 90. Perzentil für Testergebnisse: 72, 85, 90, 78, 92, 88, 76, 95, 82, 89
Anwendung: Bestimmung von Leistungsgrenzen
Berechnung:

\[\text{Sortierte Daten: } 72, 76, 78, 82, 85, 88, 89, 90, 92, 95 \quad (n = 10)\] \[\text{P90 (p = 0.90): } k = \lceil 10 \cdot 0.90 \rceil = 9\] \[\text{P90 = } x_{(9)} = 92\] \[\text{Interpretation: } 90\% \text{ der Kandidaten haben } \leq 92 \text{ Punkte}\]

Anwendung: Nur 10% erreichen mehr als 92 Punkte (Auszeichnung)

📝 Beispiel 3: Risikomanagement

Aufgabe: Value at Risk (VaR) aus Renditedaten
Daten: Tägliche Renditen (%) eines Portfolios
VaR-Berechnung:

\[\text{Renditen: } -2.1, 1.5, -0.8, 2.3, -1.2, 0.9, -3.1, 1.8, -0.5, 2.7\] \[\text{Sortiert: } -3.1, -2.1, -1.2, -0.8, -0.5, 0.9, 1.5, 1.8, 2.3, 2.7\] \[\text{VaR}_{95\%} \text{ (p = 0.05): } k = \lceil 10 \cdot 0.05 \rceil = 1\] \[\text{VaR}_{95\%} = x_{(1)} = -3.1\%\] \[\text{Interpretation: Mit 95\% Wahrscheinlichkeit Verlust } \leq 3.1\%\]

Risikomanagement: Maximaler erwarteter Tagesverlust: 3.1%

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung von Quantilen:

Python (NumPy):
import numpy as np
# Verschiedene Quantilmethoden:
np.quantile(data, 0.5) # Median
np.percentile(data, 75) # 75. Perzentil
np.quantile(data, [0.25, 0.5, 0.75]) # Quartile

R:
quantile(data, 0.5) # Standard-Methode
quantile(data, 0.5, type=7) # R-Standard
# 9 verschiedene Typen verfügbar

Manual Implementation:
def empirical_quantile(data, p):
  sorted_data = sorted(data)
  n = len(sorted_data)
  index = int(np.ceil(n * p)) - 1
  return sorted_data[max(0, index)]

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Stichprobengröße beachten: Kleine n → unsichere Quantile}\] \[\text{2. Verschiedene Definitionen können unterschiedliche Ergebnisse liefern}\] \[\text{3. Bei Bindungen: Eindeutigkeit kann verloren gehen}\] \[\text{4. Interpolation vs. Diskrete Werte}\] \[\text{5. Extreme Quantile (p nahe 0 oder 1) sind weniger robust}\]