Arithmetisches Mittel Rechner

📊 Verschiedene Schreibweisen

Das arithmetische Mittel kann auf verschiedene Weise dargestellt werden:

\[\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \quad \text{(Summennotation)}\] \[\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \quad \text{(Ausgeschrieben)}\] \[\mu = E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \quad \text{(Erwartungswert)}\] \[\overline{x} = \arg\min_c \sum_{i=1}^n (x_i - c)^2 \quad \text{(Optimierungsansatz)}\]

🔄 Rechenregeln

Wichtige Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

\[\overline{a \cdot x + b} = a \cdot \overline{x} + b \quad \text{(Linearität)}\] \[\overline{x + y} = \overline{x} + \overline{y} \quad \text{(Additivität)}\] \[\overline{c} = c \quad \text{(Konstante)}\] \[\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) = 0 \quad \text{(Schwerpunkteigenschaft)}\]

📊 Beziehung zu anderen Mittelwerten

Vergleich verschiedener Mittelwerte:

\[\text{Harmonisches Mittel } \leq \text{ Geometrisches Mittel } \leq \text{ Arithmetisches Mittel}\] \[H_n \leq G_n \leq A_n \quad \text{(Ungleichung der Mittelwerte)}\] \[\text{Gleichheit nur bei } x_1 = x_2 = \ldots = x_n\]

📝 Beispiel 1: Einfache Berechnung

Aufgabe: Berechne das arithmetische Mittel der Zahlen: 5, 3, 4, 2, 6
.solution: Schritt-für-Schritt-Berechnung
Berechnung:

\[\text{Gegeben: } x_1 = 5, x_2 = 3, x_3 = 4, x_4 = 2, x_5 = 6\] \[\text{Anzahl: } n = 5\] \[\text{Summe: } \sum x_i = 5 + 3 + 4 + 2 + 6 = 20\] \[\text{Mittelwert: } \overline{x} = \frac{20}{5} = 4\]

Antwort: Das arithmetische Mittel beträgt 4

📝 Beispiel 2: Notendurchschnitt

Aufgabe: Ein Schüler hat folgende Noten: 85, 90, 78, 92, 88, 76, 95
Gesucht: Durchschnittsnote
Berechnung:

\[\text{Noten: } 85, 90, 78, 92, 88, 76, 95\] \[\text{Anzahl: } n = 7\] \[\text{Summe: } 85 + 90 + 78 + 92 + 88 + 76 + 95 = 604\] \[\text{Durchschnitt: } \overline{x} = \frac{604}{7} = 86{,}29\]

Interpretation: Die durchschnittliche Note beträgt 86,29 Punkte

📝 Beispiel 3: Auswirkung von Ausreißern

Aufgabe: Vergleiche das Mittel mit und ohne Ausreißer
Daten: 10, 12, 11, 13, 10, 11, 100 (letzte Zahl ist Ausreißer)
Berechnung:

\[\text{Mit Ausreißer: } \overline{x_1} = \frac{10+12+11+13+10+11+100}{7} = \frac{167}{7} = 23{,}86\] \[\text{Ohne Ausreißer: } \overline{x_2} = \frac{10+12+11+13+10+11}{6} = \frac{67}{6} = 11{,}17\] \[\text{Differenz: } |23{,}86 - 11{,}17| = 12{,}69\]

Fazit: Ein einziger Ausreißer kann das arithmetische Mittel stark verzerren

📊 Andere Lagemaße

Wann andere Mittelwerte besser geeignet sind:

\[\text{Median: Robust gegen Ausreißer, bei schiefen Verteilungen}\] \[\text{Modus: Bei nominalen Daten oder multimodalen Verteilungen}\] \[\text{Geometrisches Mittel: Bei Wachstumsraten, Verhältnissen}\] \[\text{Harmonisches Mittel: Bei Geschwindigkeiten, Raten}\] \[\text{Getrimmtes Mittel: Kompromiss zwischen Mittel und Median}\]

🎯 Wann welches Mittel verwenden?

Entscheidungshilfe für die Wahl des richtigen Lagemaßes:

\[\text{Symmetrische Verteilung, keine Ausreißer} \rightarrow \text{Arithmetisches Mittel}\] \[\text{Schiefe Verteilung oder Ausreißer vorhanden} \rightarrow \text{Median}\] \[\text{Verhältnisse oder Wachstumsraten} \rightarrow \text{Geometrisches Mittel}\] \[\text{Raten, Geschwindigkeiten} \rightarrow \text{Harmonisches Mittel}\] \[\text{Kategoriale Daten} \rightarrow \text{Modus}\]