Korrelationskoeffizient Rechner

Online Berechnung des Korrelationskoeffizienten zwischen zwei Datenreihen

📊 Korrelationskoeffizient (r)

Pearson & Spearman Korrelation zwischen zwei Variablen

📈 Datenreihe X 💡 Zahlen durch Komma, Semikolon oder Leerzeichen getrennt

📉 Datenreihe Y 💡 Gleiche Anzahl Werte wie Datenreihe X

📊 Korrelationsmethode Pearson für lineare, Spearman für monotone Zusammenhänge

🎯 Dezimalstellen

📝 Beispieldaten

📁 Datei hochladen (optional)

CSV-Format: Spalte 1 = X, Spalte 2 = Y

📊

Korrelationskoeffizient: Misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen (-1 bis +1).

📊 Korrelationskoeffizient

Stärke des linearen Zusammenhangs

📊 Interpretation der Korrelation

📏 Datenpaare

Anzahl Beobachtungen

🎯 Mittelwert X

Variable X

🎯 Mittelwert Y

Variable Y

Geben Sie Ihre beiden Datenreihen in die Textfelder ein und klicken Sie auf Berechnen. Der Korrelationskoeffizient misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen und ist ein fundamentales Maß in der deskriptiven Statistik und Datenanalyse.

💡 Korrelationskoeffizient

\(r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \sum (y_i - \bar{y})^2}}\) | Maß für linearen Zusammenhang

Korrelation und linearen Zusammenhang verstehen

Der Korrelationskoeffizient ist eines der wichtigsten Maße zur Quantifizierung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen. Er gibt sowohl die Stärke als auch die Richtung der Beziehung an und liegt immer zwischen -1 und +1. Ein Wert von +1 bedeutet perfekte positive Korrelation, -1 bedeutet perfekte negative Korrelation, und 0 bedeutet keinen linearen Zusammenhang. Korrelation ist fundamental für Regression, Datenanalyse und wissenschaftliche Studien.

📊 Pearson-Korrelation

Lineare Korrelation:

r = Cov(X,Y)/(σₓσᵧ)

Parametrisch, misst lineare Beziehungen

📈 Spearman-Korrelation

Rangkorrelation:

rₛ = 1 - 6Σd²/n(n²-1)

Nichtparametrisch, robust gegen Ausreißer

🎯 Anwendungen

• Wissenschaftliche Studien
• Marktforschung
• Qualitätskontrolle
• Machine Learning

⚙️ Interpretation

• |r| ≥ 0.9: Sehr stark
• |r| ≥ 0.7: Stark
• |r| ≥ 0.5: Moderat
• |r| < 0.3: Schwach

Mathematische Grundlagen

📊 Pearson-Korrelationskoeffizient

Für zwei Datenreihen X und Y mit n Beobachtungen:

\[\text{Kovarianz-Form: } r = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\] \[\text{Summenform: } r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}\] \[\text{Computational Form: } r = \frac{n\sum xy - \sum x \sum y}{\sqrt{(n\sum x^2 - (\sum x)^2)(n\sum y^2 - (\sum y)^2)}}\] \[\text{Eigenschaften: } -1 \leq r \leq 1, \text{ dimensionslos}\]

🔄 Spearman-Rangkorrelationskoeffizient

Korrelation basierend auf Rängen der Beobachtungen:

\[\text{Formel: } r_s = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2-1)}\] \[\text{wobei } d_i = \text{Rang}(x_i) - \text{Rang}(y_i)\] \[\text{Alternative: Pearson-Korrelation der Ränge}\] \[\text{Robustheit: Weniger empfindlich gegen Ausreißer}\] \[\text{Anwendung: Ordinale Daten, nicht-normale Verteilungen}\]

📊 Korrelation vs. Kausalität

Wichtige Unterscheidung in der Dateninterpretation:

\[\text{Korrelation } \neq \text{ Kausalität}\] \[\text{Mögliche Erklärungen für Korrelation:}\] \[\text{1. X verursacht Y}\] \[\text{2. Y verursacht X}\] \[\text{3. Dritte Variable Z verursacht beide}\] \[\text{4. Zufällige Korrelation}\] \[\text{Zusätzliche Evidenz nötig für Kausalität}\]

Beispielrechnung

Gegeben:
X: 2, 5, 4, 8, 3
Y: 1, 3, 2, 7, 4

Pearson-Korrelationskoeffizient (r)

Schritt 1: Mittelwerte berechnen
\[\bar{x} = \frac{2 + 5 + 4 + 8 + 3}{5} = \frac{22}{5} = 4.4\] \[\bar{y} = \frac{1 + 3 + 2 + 7 + 4}{5} = \frac{17}{5} = 3.4\]

Schritt 2: Abweichungen vom Mittelwert berechnen

i x_i y_i x_i - x̄ y_i - ȳ (x_i - x̄)(y_i - ȳ) (x_i - x̄)² (y_i - ȳ)²

1 2 1 -2.4 -2.4 5.76 5.76 5.76

2 5 3 0.6 -0.4 -0.24 0.36 0.16

3 4 2 -0.4 -1.4 0.56 0.16 1.96

4 8 7 3.6 3.6 12.96 12.96 12.96

5 3 4 -1.4 0.6 -0.84 1.96 0.36

Summen: 18.20 21.20 21.20

i	x_i	y_i	x_i - x̄	y_i - ȳ	(x_i - x̄)(y_i - ȳ)	(x_i - x̄)²	(y_i - ȳ)²
1	2	1	-2.4	-2.4	5.76	5.76	5.76
2	5	3	0.6	-0.4	-0.24	0.36	0.16
3	4	2	-0.4	-1.4	0.56	0.16	1.96
4	8	7	3.6	3.6	12.96	12.96	12.96
5	3	4	-1.4	0.6	-0.84	1.96	0.36
Summen:	18.20	21.20	21.20

Schritt 3: Korrelationskoeffizient berechnen
\[r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum (y_i - \bar{y})^2}}\] \[r = \frac{18.20}{\sqrt{21.20 \cdot 21.20}} = \frac{18.20}{21.20} = 0.86\]

Spearman-Rangkorrelationskoeffizient (r_s)

Schritt 1: Ränge zuordnen

Wert X Rang X Y Rang Y d_i d_i²

1 2 1 1 1 0 0

2 5 4 3 3 1 1

3 4 3 2 2 1 1

4 8 5 7 5 0 0

5 3 2 4 4 -2 4

Summe: 6

Wert	X	Rang X	Y	Rang Y	d_i	d_i²
1	2	1	1	1	0	0
2	5	4	3	3	1	1
3	4	3	2	2	1	1
4	8	5	7	5	0	0
5	3	2	4	4	-2	4
Summe:	6

Schritt 2: Spearman-Koeffizient berechnen
\[r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2-1)}\] \[r_s = 1 - \frac{6 \cdot 6}{5(25-1)} = 1 - \frac{36}{120} = 1 - 0.3 = 0.70\]

Interpretation:

Pearson (r = 0.86): Starke positive lineare Korrelation
Spearman (r_s = 0.70): Starke positive Rangkorrelation

Beide Koeffizienten zeigen einen starken positiven Zusammenhang zwischen X und Y. Der Unterschied liegt daran, dass Pearson die exakten Werte berücksichtigt, während Spearman nur die Rangfolge betrachtet.

Wann welche Methode verwenden?

Pearson: Bei normalverteilten, metrischen Daten ohne Ausreißer
Spearman: Bei ordinalen Daten, nicht-normalverteilten Daten oder bei Vorhandensein von Ausreißern

💡 Wichtige Eigenschaften der Korrelationskoeffizienten:

Wertebereich: Beide Koeffizienten liegen zwischen -1 und +1
Richtung: Positiver Wert = positive Korrelation, negativer Wert = negative Korrelation
Stärke: Je näher der Betrag bei 1 liegt, desto stärker der Zusammenhang
Kausalität: Korrelation bedeutet nicht Kausalität!

🔬 Anwendungsgebiete der Korrelationsanalyse:

Wissenschaft: Zusammenhänge zwischen Variablen untersuchen
Qualitätskontrolle: Beziehungen zwischen Prozessparametern
Finanzen: Korrelationen zwischen Aktien oder Märkten
Machine Learning: Feature-Selektion und Datenanalyse

Lageparameter

Arithmetisches-Mittel, Durchschnitt
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Kontraharmonisches Mittel
Log-Geometrisches Mittel
Median
Modus
Minimum und Maximum
Perzentile
Oberes Quartil
Unteres Quartil
Quantile

Streuungsmaße

Kurtosis
Skewness (Statistische Schiefe)
Standardabweichung
Gepoolte Standardabweichungl
Varianz
Gepoolte Varianz
Spannweite
Interquartilsabstand (IQR)

Korrelation & Zusammenhang

Kovarianz
Korrelationskoeffizient (Pearson, Spearman)
Rangkorrelation

Verteilungsfunktionen

Empirische inverse Verteilungsfunktion CDF
Empirische Verteilungsfunktion CDF
Five-Number Summary

Test & Schätzungen

T-Test (einfach)
Chi-Quadrat-Test
Wilcoxon-Test

Spezielle Verteilungen:

Normalverteilung
Binomialverteilung
Poisson-Verteilung
Exponentialverteilung

Risiko & Wahrscheinlichkeit

Geburtstagsparadoxon
Satz von Bayes

Korrelationskoeffizient Rechner