Ein-Stichproben-t-Test Rechner

📊 Teststatistik und Verteilung

Für eine Stichprobe x₁, x₂, ..., xₙ aus einer Normalverteilung:

\[\text{Teststatistik: } t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\] \[\text{wobei:}\] \[\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \text{ (Stichprobenmittel)}\] \[s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \text{ (Stichproben-SD)}\] \[\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} \text{ (Standardfehler des Mittelwerts)}\] \[t \sim t_{n-1} \text{ unter } H_0 \text{ (t-Verteilung mit n-1 df)}\]

🔄 Hypothesentestverfahren

Systematisches Vorgehen beim Hypothesentest:

\[\text{Schritt 1: Hypothesen formulieren}\] \[H_0: \mu = \mu_0 \text{ vs. } H_1: \mu \neq \mu_0 \text{ (zweiseitig)}\] \[\text{Schritt 2: Signifikanzniveau festlegen } (\alpha = 0.05)\] \[\text{Schritt 3: Teststatistik berechnen}\] \[\text{Schritt 4: p-Wert bestimmen}\] \[p = P(|T| \geq |t_{obs}|) \text{ bei zweiseitigem Test}\] \[\text{Schritt 5: Entscheidung treffen}\] \[\text{Ablehnung von } H_0 \text{ wenn } p < \alpha\]

📊 Konfidenzintervall und Effektgröße

Zusätzliche Informationen über die Stichprobe:

\[\text{Konfidenzintervall für } \mu \text{ (1-α)-Niveau:}\] \[\bar{x} \pm t_{\alpha/2,n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\] \[\text{Cohen's d (Effektgröße):}\] \[d = \frac{|\bar{x} - \mu_0|}{s}\] \[\text{Interpretation: } d < 0.2 \text{ (klein), } 0.2 \leq d < 0.8 \text{ (mittel), } d \geq 0.8 \text{ (groß)}\] \[\text{Teststärke: } 1 - \beta = P(\text{H}_0 \text{ ablehnen | H}_1 \text{ wahr})\]

📝 Beispiel 1: Standardtest

Aufgabe: Test, ob Stichprobe signifikant von μ₀ = 6 abweicht
Daten: 5, 7, 6, 8, 7 (n = 5)
Berechnung:

\[\bar{x} = \frac{5+7+6+8+7}{5} = 6.6\] \[s = \sqrt{\frac{(5-6.6)^2 + (7-6.6)^2 + (6-6.6)^2 + (8-6.6)^2 + (7-6.6)^2}{4}} = 1.14\] \[\text{SE} = \frac{1.14}{\sqrt{5}} = 0.51\] \[t = \frac{6.6 - 6}{0.51} = 1.18\] \[\text{df} = 5 - 1 = 4\] \[p \approx 0.30 \text{ (zweiseitig)}\]

Interpretation: p > 0.05 → H₀ beibehalten, kein signifikanter Unterschied

📝 Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Überprüfung der Sollmasse μ₀ = 15.0g
Daten: 15.2, 14.8, 15.1, 14.9, 15.0, 15.3, 14.7 (n = 7)
Einseitiger Test: H₁: μ ≠ 15.0

\[\bar{x} = \frac{15.2+14.8+...+14.7}{7} = 15.0\] \[s = 0.21, \quad \text{SE} = \frac{0.21}{\sqrt{7}} = 0.079\] \[t = \frac{15.0 - 15.0}{0.079} = 0.0\] \[\text{df} = 6, \quad p = 1.0\] \[\text{95\% KI: } [14.80, 15.20]\]

Ergebnis: Prozess läuft im Sollbereich, keine Abweichung erkennbar

📝 Beispiel 3: Testergebnisse

Aufgabe: Sind die Testergebnisse besser als der Durchschnitt μ₀ = 80?
Daten: 72, 85, 78, 92, 88, 76, 95, 82, 89, 91 (n = 10)
Rechtsseitiger Test: H₁: μ > 80

\[\bar{x} = 84.8, \quad s = 7.49, \quad \text{SE} = 2.37\] \[t = \frac{84.8 - 80}{2.37} = 2.03\] \[\text{df} = 9, \quad p \approx 0.035 \text{ (einseitig)}\] \[\text{Cohen's d} = \frac{|84.8 - 80|}{7.49} = 0.64 \text{ (mittlerer Effekt)}\] \[\text{95\% KI: } [79.4, 90.2]\]

Ergebnis: Signifikant bessere Leistung (p < 0.05), mittlere Effektgröße

⚠️ Häufige Fehler und deren Vermeidung

Wichtige Punkte für korrekte Anwendung:

\[\text{Typ I Fehler: } \alpha = P(\text{H}_0 \text{ ablehnen | H}_0 \text{ wahr})\] \[\text{Typ II Fehler: } \beta = P(\text{H}_0 \text{ beibehalten | H}_1 \text{ wahr})\] \[\text{Teststärke: } 1-\beta = P(\text{H}_0 \text{ ablehnen | H}_1 \text{ wahr})\] \[\text{Multiple Testing: Bonferroni-Korrektur } \alpha' = \frac{\alpha}{k}\] \[\text{Voraussetzungen prüfen: Normalität, Unabhängigkeit}\]

💻 Computational Aspects

Implementierung in verschiedenen Software-Systemen:

R:
# Ein-Stichproben t-Test
t.test(data, mu = mu0) # zweiseitig
t.test(data, mu = mu0, alternative = "greater") # rechtsseitig
t.test(data, mu = mu0, conf.level = 0.95) # mit KI

Python (SciPy):
from scipy import stats
# Ein-Stichproben t-Test
t_stat, p_value = stats.ttest_1samp(data, mu0)
# Konfidenzintervall
stats.t.interval(0.95, df, loc=mean, scale=se)

Manual Calculation:
import numpy as np
mean = np.mean(data)
std = np.std(data, ddof=1)
se = std / np.sqrt(len(data))
t = (mean - mu0) / se

💡 Praktische Interpretationshilfen

Leitfaden für die Ergebnisinterpretation:

\[\text{p-Wert Interpretation:}\] \[p < 0.001: \text{ sehr stark signifikant } (***)\] \[0.001 \leq p < 0.01: \text{ stark signifikant } (**)\] \[0.01 \leq p < 0.05: \text{ signifikant } (*)\] \[p \geq 0.05: \text{ nicht signifikant (ns)}\] \[\text{Konfidenzintervall: Enthält μ}_0? \Rightarrow \text{ nicht signifikant}\] \[\text{Effektgröße beachten: Praktische vs. statistische Signifikanz}\]