Rangkorrelation Rechner

📊 Spearman Rangkorrelationskoeffizient

Für zwei Datenreihen X und Y mit n Beobachtungen:

\[\text{Grundformel: } r_s = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2-1)}\] \[\text{wobei } d_i = \text{Rang}(x_i) - \text{Rang}(y_i)\] \[\text{Alternative: Pearson-Korrelation der Ränge}\] \[r_s = \frac{\sum_{i=1}^{n} (R_x - \bar{R_x})(R_y - \bar{R_y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (R_x - \bar{R_x})^2 \sum_{i=1}^{n} (R_y - \bar{R_y})^2}}\] \[\text{Eigenschaften: } -1 \leq r_s \leq 1\]

🔄 Rangzuordnung und Bindungen

Behandlung gleicher Werte (Bindungen):

\[\text{Mittlere Ränge bei Bindungen:}\] \[\text{Beispiel: Werte 2, 3, 3, 5 erhalten Ränge 1, 2.5, 2.5, 4}\] \[\text{Korrektur für Bindungen:}\] \[r_s = \frac{\sum (R_x - \bar{R_x})(R_y - \bar{R_y})}{\sqrt{[\sum (R_x - \bar{R_x})^2 - T_x][\sum (R_y - \bar{R_y})^2 - T_y]}}\] \[\text{wobei } T = \sum \frac{t_i^3 - t_i}{12} \text{ für Bindungsgruppen der Größe } t_i\]

📊 Spearman vs. Pearson

Wichtige Unterschiede zwischen den Korrelationsmaßen:

\[\text{Pearson: Misst lineare Zusammenhänge}\] \[\text{Spearman: Misst monotone Zusammenhänge}\] \[\text{Wenn X und Y linear zusammenhängen: } r_s \approx r\] \[\text{Bei nichtlinearen monotonen Beziehungen: } |r_s| > |r|\] \[\text{Robustheit: Spearman weniger empfindlich gegen Ausreißer}\]

📝 Beispiel 1: Grundberechnung

Aufgabe: Berechne Rangkorrelation von X: 2, 5, 4, 8, 3 und Y: 1, 3, 2, 7, 4
Schritt 1: Ränge zuordnen
Schritt 2: Rangdifferenzen berechnen

\[\text{Ränge X: } 1, 4, 3, 5, 2\] \[\text{Ränge Y: } 1, 3, 2, 5, 4\] \[\text{Differenzen } d_i: 0, 1, 1, 0, -2\] \[\text{Quadrierte Differenzen } d_i^2: 0, 1, 1, 0, 4\] \[\sum d_i^2 = 6\] \[r_s = 1 - \frac{6 \cdot 6}{5(25-1)} = 1 - \frac{36}{120} = 0.70\]

Interpretation: Starke positive Rangkorrelation von 0.70

📝 Beispiel 2: Nichtlinearer Zusammenhang

Aufgabe: Quadratischer Zusammenhang X: 1, 2, 3, 4, 5 und Y: 1, 4, 9, 16, 25
Vergleich: Spearman vs. Pearson bei Y = X²
Analyse:

\[\text{Ränge X: } 1, 2, 3, 4, 5\] \[\text{Ränge Y: } 1, 2, 3, 4, 5 \text{ (monoton steigend)}\] \[\text{Alle Rangdifferenzen } d_i = 0\] \[r_s = 1 - \frac{6 \cdot 0}{5 \cdot 24} = 1.00\] \[\text{Pearson-Korrelation: } r \approx 0.97\]

Ergebnis: Spearman erkennt perfekte Monotonie, Pearson nicht perfekte Linearität

📝 Beispiel 3: Robustheit gegen Ausreißer

Aufgabe: Einfluss von Ausreißern demonstrieren
Originaldaten: X: 1, 2, 3, 4, 5 und Y: 2, 4, 6, 8, 10
Mit Ausreißer: X: 1, 2, 3, 4, 100 und Y: 2, 4, 6, 8, 200

\[\text{Original: Ränge X = Ränge Y = 1, 2, 3, 4, 5}\] \[r_s = 1.00 \text{ (perfekte Rangkorrelation)}\] \[\text{Mit Ausreißer: Ränge X = Ränge Y = 1, 2, 3, 4, 5}\] \[r_s = 1.00 \text{ (unverändert!)}\] \[\text{Pearson-Korrelation würde deutlich sinken}\]

Vorteil: Rangkorrelation ist unempfindlich gegen extreme Werte

📊 Signifikanztest für Rangkorrelation

Test der Nullhypothese H₀: ρₛ = 0 (keine Rangkorrelation):

\[\text{Für } n \geq 10: \text{ Approximation durch Normalverteilung}\] \[t = r_s \sqrt{\frac{n-2}{1-r_s^2}} \sim t_{n-2}\] \[\text{Kritischer Wert bei } \alpha = 0.05: t_{0.025, n-2}\] \[\text{Für kleine n: Exakte Tabellen verwenden}\] \[\text{Konfidenzintervall: Fisher-Transformation möglich}\]

🎯 Effektstärke und Interpretation

Richtlinien für die Interpretation der Rangkorrelation:

\[\text{Cohen's Richtlinien für Korrelationskoeffizienten:}\] \[|r_s| = 0.10: \text{ kleiner Effekt}\] \[|r_s| = 0.30: \text{ mittlerer Effekt}\] \[|r_s| = 0.50: \text{ großer Effekt}\] \[\text{Kontextabhängige Interpretation oft wichtiger}\]

💻 Algorithmen und Implementierung

Effiziente Berechnung der Rangkorrelation:

Python (SciPy):
from scipy.stats import spearmanr
import numpy as np
# Berechnung mit SciPy:
rho, p_value = spearmanr(x, y)
# Manuelle Implementierung:
def spearman_rank_corr(x, y):
  rx = np.argsort(np.argsort(x)) + 1
  ry = np.argsort(np.argsort(y)) + 1
  d = rx - ry
  n = len(x)
  return 1 - 6*np.sum(d**2)/(n*(n**2-1))

R:
cor(x, y, method="spearman")
# oder explizit:
cor.test(x, y, method="spearman")

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Geeignet für ordinale und metrische Daten}\] \[\text{2. Keine Normalverteilungsannahme nötig}\] \[\text{3. Robust gegen Ausreißer}\] \[\text{4. Bei kleinen Stichproben: exakte Tabellen}\] \[\text{5. Bindungen reduzieren die Power}\]