Normalverteilung Rechner

📊 Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Die mathematischen Definitionen der Normalverteilung:

\[\text{Dichtefunktion (PDF): } f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\] \[\text{Verteilungsfunktion (CDF): } F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\] \[\text{Standardisierung: } Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\] \[\text{Standardnormalverteilung: } \phi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}\] \[\text{Beziehung: } P(X \leq x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]

🔄 Empirische Regel (68-95-99.7)

Wichtige Wahrscheinlichkeiten bei der Normalverteilung:

\[\text{Innerhalb 1σ: } P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.6827 \text{ (68.27%)}\] \[\text{Innerhalb 2σ: } P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 \text{ (95.45%)}\] \[\text{Innerhalb 3σ: } P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.9973 \text{ (99.73%)}\] \[\text{Praktische Anwendung: Six Sigma Qualitätskontrolle}\] \[\text{Symmetrie: } P(X \leq \mu) = 0.5, \quad P(X \leq \mu + a) = 1 - P(X \leq \mu - a)\]

📊 Quantile und kritische Werte

Wichtige Quantile der Standardnormalverteilung:

\[\text{Häufig verwendete z-Werte:}\] \[z_{0.90} = 1.282, \quad z_{0.95} = 1.645, \quad z_{0.975} = 1.960\] \[z_{0.99} = 2.326, \quad z_{0.995} = 2.576, \quad z_{0.999} = 3.090\] \[\text{Transformation auf beliebige Normalverteilung:}\] \[x_p = \mu + z_p \cdot \sigma\] \[\text{wobei } z_p \text{ das p-Quantil der Standardnormalverteilung ist}\]

📝 Beispiel 1: IQ-Test Auswertung

Aufgabe: IQ-Tests haben μ = 100, σ = 15. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für IQ ≤ 120?
Gegeben: N(100, 15²), x = 120
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: z-Wert berechnen}\] \[z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{120 - 100}{15} = \frac{20}{15} = 1.333\] \[\text{Schritt 2: Standardnormalverteilung nachschlagen}\] \[P(Z \leq 1.333) = \Phi(1.333) \approx 0.9082\] \[\text{Schritt 3: Interpretation}\] \[P(X \leq 120) = 0.9082 = 90.82\%\]

Interpretation: 90.82% der Bevölkerung haben einen IQ von 120 oder niedriger

📝 Beispiel 2: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Produktionsmaße N(50, 5²). Welcher Anteil liegt außerhalb 45-55?
Gegeben: μ = 50, σ = 5, Intervall [45, 55]
Berechnung:

\[\text{Untere Grenze: } z_1 = \frac{45 - 50}{5} = -1.0\] \[\text{Obere Grenze: } z_2 = \frac{55 - 50}{5} = 1.0\] \[\text{Wahrscheinlichkeit innerhalb: } P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)\] \[= 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26\%\] \[\text{Wahrscheinlichkeit außerhalb: } 1 - 0.6826 = 0.3174 = 31.74\%\]

Ergebnis: 31.74% der Produkte liegen außerhalb der Toleranzgrenzen

📝 Beispiel 3: Konfidenzintervall

Aufgabe: 95%-Konfidenzintervall für μ = 170, σ = 10
Berechnung: Symmetrisches Intervall um den Erwartungswert
Lösung:

\[\text{Für 95% Vertrauen: } \alpha = 0.05, \quad \alpha/2 = 0.025\] \[\text{Kritischer z-Wert: } z_{0.975} = 1.96\] \[\text{Konfidenzintervall: } \mu \pm z_{\alpha/2} \cdot \sigma\] \[= 170 \pm 1.96 \cdot 10 = 170 \pm 19.6\] \[= [150.4, 189.6]\] \[\text{Interpretation: 95% der Werte liegen in diesem Bereich}\]

Bedeutung: Mit 95%iger Sicherheit liegt der wahre Parameter im Intervall [150.4, 189.6]

📊 Zentraler Grenzwertsatz

Fundamentales Theorem der Wahrscheinlichkeitstheorie:

\[\text{Für Stichprobenmittel: } \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\] \[\text{gilt bei unabhängigen } X_i \text{ mit } E[X_i] = \mu, \text{Var}(X_i) = \sigma^2:\] \[\bar{X}_n \xrightarrow{d} N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \text{ für } n \to \infty\] \[\text{Standardisiert: } \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)\] \[\text{Praktische Faustregel: } n \geq 30 \text{ für Approximation}\]

🎯 Multivariate Normalverteilung

Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen:

\[\text{p-dimensionale Normalverteilung: } \mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})\] \[\text{Dichtefunktion: } f(\mathbf{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2}|\mathbf{\Sigma}|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^T\mathbf{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right)\] \[\text{Randverteilungen sind normal}\] \[\text{Lineare Kombinationen sind normal}\] \[\text{Anwendung: Portfolio-Optimierung, Multivariate Statistik}\]

📈 Log-Normalverteilung

Verwandte Verteilung für positive Werte:

\[\text{Definition: } \ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2) \Rightarrow X \sim \text{LogNormal}(\mu, \sigma^2)\] \[\text{Dichtefunktion: } f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x > 0\] \[\text{Erwartungswert: } E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}\] \[\text{Varianz: } \text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)\] \[\text{Anwendungen: Aktienkurse, Einkommen, Partikelgrößen}\]

💻 Numerische Berechnung

Algorithmen und Software-Implementierungen:

Python (SciPy/NumPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# Normalverteilung:
stats.norm.cdf(x, loc=mu, scale=sigma) # P(X ≤ x)
stats.norm.pdf(x, loc=mu, scale=sigma) # Dichtefunktion
stats.norm.ppf(p, loc=mu, scale=sigma) # Quantil (inverse CDF)

R:
pnorm(x, mean=mu, sd=sigma) # P(X ≤ x)
dnorm(x, mean=mu, sd=sigma) # Dichtefunktion
qnorm(p, mean=mu, sd=sigma) # Quantil

Excel: NORM.DIST, NORM.INV, STANDARDIZE

💡 Praktische Tipps und Tests

Überprüfung der Normalverteilungsannahme:

\[\text{Grafische Tests:}\] \[\text{• Q-Q Plot (Quantil-Quantil-Diagramm)}\] \[\text{• Histogramm mit überlagertner Normalverteilung}\] \[\text{• Box-Plot zur Symmetrie-Prüfung}\] \[\text{Statistische Tests:}\] \[\text{• Shapiro-Wilk Test (n < 50)}\] \[\text{• Kolmogorov-Smirnov Test}\] \[\text{• Anderson-Darling Test}\] \[\text{• Jarque-Bera Test (große Stichproben)}\]