Wilcoxon-Test Rechner

📊 Testverfahren Schritt für Schritt

Systematische Durchführung des Wilcoxon-Tests:

\[\text{Schritt 1: Differenzen berechnen}\] \[d_i = x_i - y_i \quad \text{für } i = 1, 2, ..., n\] \[\text{Schritt 2: Nulldifferenzen ausschließen}\] \[\text{Entferne alle } d_i = 0 \text{ aus der Analyse}\] \[\text{Schritt 3: Ränge der Absolutbeträge vergeben}\] \[R_i = \text{Rang}(|d_i|) \text{ mit Durchschnittsrängen bei Bindungen}\] \[\text{Schritt 4: Vorzeichenbehaftete Rangsummen}\] \[W^+ = \sum_{d_i > 0} R_i, \quad W^- = \sum_{d_i < 0} R_i\] \[\text{Schritt 5: Teststatistik}\] \[W = \min(W^+, W^-)\]

🔄 Hypothesen und p-Wert Berechnung

Statistische Hypothesen und Signifikanztest:

\[\text{Nullhypothese: } H_0: \text{Median}(d) = 0\] \[\text{Alternativhypothese (zweiseitig): } H_1: \text{Median}(d) \neq 0\] \[\text{Für kleine Stichproben (n ≤ 25):}\] \[\text{Exakte Verteilung der Teststatistik W}\] \[\text{Für große Stichproben (n > 25):}\] \[\text{Normalapproximation: } Z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W}\] \[\text{wobei } \mu_W = \frac{n(n+1)}{4}, \quad \sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}\] \[\text{p-Wert: } p = 2 \cdot P(Z \leq z_{obs}) \text{ (zweiseitig)}\]

📊 Behandlung von Bindungen (Ties)

Umgang mit gleichen Absolutbeträgen:

\[\text{Bei Bindungen: Durchschnittsränge vergeben}\] \[\text{Beispiel: } |d| = [1, 2, 2, 3] \rightarrow \text{Ränge} = [1, 2.5, 2.5, 4]\] \[\text{Korrektur für Normalapproximation:}\] \[\sigma_W^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{1}{48}\sum_{j=1}^g t_j(t_j^2-1)\] \[\text{wobei } t_j \text{ die Anzahl der Bindungen in Gruppe j ist}\] \[\text{Kontinuitätskorrektur bei Normalapproximation:}\] \[Z = \frac{W \pm 0.5 - \mu_W}{\sigma_W}\]

📝 Beispiel 1: Standard-Berechnung

Aufgabe: Therapieeffekt bei 5 Patienten
Daten: Vorher: [8, 7, 9, 6, 8], Nachher: [6, 5, 7, 5, 6]
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Differenzen}\] \[d = [8-6, 7-5, 9-7, 6-5, 8-6] = [2, 2, 2, 1, 2]\] \[\text{Schritt 2: Keine Nulldifferenzen vorhanden}\] \[\text{Schritt 3: Absolutbeträge und Ränge}\] \[|d| = [2, 2, 2, 1, 2] \rightarrow \text{Ränge} = [3, 3, 3, 1, 3]\] \[\text{(Durchschnittsränge: Rang 1 für |d|=1, Ränge 2,3,4,5 für |d|=2 → Ø=3.5, gerundet 3)}\] \[\text{Schritt 4: Alle Differenzen positiv}\] \[W^+ = 3+3+3+1+3 = 13, \quad W^- = 0\] \[\text{Schritt 5: Teststatistik}\] \[W = \min(13, 0) = 0\] \[\text{Schritt 6: p-Wert (exakt für n=5)}\] \[p \approx 0.0625 \text{ (nicht signifikant bei α=0.05)}\]

Interpretation: Kein signifikanter Unterschied zwischen Vorher und Nachher

📝 Beispiel 2: Größere Stichprobe mit Normalapproximation

Aufgabe: Trainingsprogramm mit 12 Teilnehmern
Daten: Signifikante Verbesserungen bei den meisten Teilnehmern
Berechnung:

\[\text{Angenommen: n = 12, W = 15 (beobachtet)}\] \[\text{Erwartungswert: } \mu_W = \frac{12 \cdot 13}{4} = 39\] \[\text{Standardabweichung: } \sigma_W = \sqrt{\frac{12 \cdot 13 \cdot 25}{24}} = \sqrt{162.5} \approx 12.75\] \[\text{Z-Statistik: } Z = \frac{15 + 0.5 - 39}{12.75} = \frac{-23.5}{12.75} \approx -1.84\] \[\text{p-Wert (zweiseitig): } p = 2 \cdot P(Z \leq -1.84) \approx 2 \cdot 0.033 = 0.066\]

Ergebnis: Grenzwertig signifikant (p=0.066 > 0.05, aber < 0.10)

📝 Beispiel 3: Umgang mit Bindungen

Aufgabe: Daten mit gleichen Differenzen
Daten: Differenzen: [-2, -1, 0, 1, 1, 2, 2, 3]
Berechnung:

\[\text{Schritt 1: Nulldifferenzen entfernen}\] \[d = [-2, -1, 1, 1, 2, 2, 3] \quad (n = 7)\] \[\text{Schritt 2: Absolutbeträge}\] \[|d| = [2, 1, 1, 1, 2, 2, 3]\] \[\text{Schritt 3: Ränge mit Bindungen}\] \[\text{Rang 1: nicht vergeben, Ränge 2,3,4 für |d|=1 → Ø=3}\] \[\text{Ränge 5,6,7 für |d|=2 → Ø=6, Rang 8 für |d|=3}\] \[\text{Ränge: } [6, 3, 3, 3, 6, 6, 8]\] \[\text{Schritt 4: Vorzeichenbehaftete Rangsummen}\] \[W^+ = 3+3+6+6+8 = 26, \quad W^- = 6+3 = 9\] \[W = \min(26, 9) = 9\]

Wichtig: Bindungen reduzieren die statistische Power des Tests

📊 Effektstärke und praktische Bedeutsamkeit

Berechnung der Effektstärke für den Wilcoxon-Test:

\[\text{Rangkorrelation als Effektstärke:}\] \[r = \frac{Z}{\sqrt{n}} \quad \text{(bei Normalapproximation)}\] \[\text{Interpretation nach Cohen:}\] \[|r| = 0.1 \text{ (kleiner Effekt)}, \quad |r| = 0.3 \text{ (mittlerer Effekt)}, \quad |r| = 0.5 \text{ (großer Effekt)}\] \[\text{Pseudo-Median als Lageparameter:}\] \[\text{Hodges-Lehmann Schätzer: Median aller paarweisen Mittelwerte}\] \[\tilde{\Delta} = \text{median}\left\{\frac{d_i + d_j}{2} : i \leq j\right\}\]

🎯 Verwandte Tests und Alternativen

Andere nichtparametrische Tests für gepaarte Daten:

\[\text{Vorzeichentest (Sign Test):}\] \[\text{Einfacher, aber weniger mächtig als Wilcoxon-Test}\] \[\text{Nur Vorzeichen der Differenzen, keine Ränge}\] \[\text{McNemar-Test:}\] \[\text{Für kategoriale Daten (2×2 Kontingenztafeln)}\] \[\text{Gepaarter t-Test:}\] \[\text{Parametrische Alternative bei normalverteilten Differenzen}\] \[\text{Bootstrap-Verfahren:}\] \[\text{Moderne computerintensive Alternative}\]

📈 Power und Stichprobenumfang

Planung der Stichprobengröße für den Wilcoxon-Test:

\[\text{Asymptotische relative Effizienz (ARE):}\] \[\text{ARE}_{Wilcoxon,t-Test} = \frac{3}{\pi} \approx 0.955 \text{ (bei Normalverteilung)}\] \[\text{Für andere Verteilungen oft höhere Effizienz}\] \[\text{Faustregeln für Mindeststichprobengröße:}\] \[n \geq 6 \text{ für exakte Tests}\] \[n \geq 25 \text{ für Normalapproximation}\] \[\text{Power-Berechnung schwieriger als bei parametrischen Tests}\]

💻 Software-Implementierungen

Wilcoxon-Test in verschiedenen Statistikprogrammen:

R:
wilcox.test(x, y, paired = TRUE) # Gepaarter Test
wilcox.test(x, y, paired = TRUE, exact = TRUE) # Exakter Test
coin::wilcoxsign_test(y ~ x | block) # Moderne Implementierung

Python (SciPy):
from scipy import stats
stats.wilcoxon(x, y, alternative='two-sided') # Gepaarter Test
stats.wilcoxon(differences) # Direkt mit Differenzen

SPSS: NPAR TESTS WILCOXON
SAS: PROC NPAR1WAY WILCOXON

💡 Praktische Tipps und Fallstricke

Wichtige Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Prüfung der Voraussetzungen:}\] \[\text{Gepaartheit der Daten, ordinales Skalenniveau}\] \[\text{2. Umgang mit Nulldifferenzen:}\] \[\text{Standardmäßig ausschließen, alternative Ansätze verfügbar}\] \[\text{3. Interpretation der Effektrichtung:}\] \[\text{Zusätzlich zu p-Wert: Vorzeichen der Mediansdifferenz}\] \[\text{4. Bei vielen Bindungen:}\] \[\text{Exakter Test oder robuste Alternativen erwägen}\] \[\text{5. Konfidenzintervalle:}\] \[\text{Hodges-Lehmann Schätzer für Mediansdifferenz}\]