Geburtstagsparadoxon Rechner

Online Rechner zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit gleicher Geburtstage


Anzahl Personen
Tage im Jahr
Dezimalstellen
gleiche Geburtstage
In Prozent

Geben Sie die Anzahl der Personen und die Anzahl der Tage im Jahr ein. Der Rechner berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben.

Standard-Werte

365 Tage für ein normales Jahr, 366 für ein Schaltjahr.


Das Geburtstagsparadoxon

Das Geburtstagsparadoxon ist ein bekanntes Beispiel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es besagt, dass bei nur 23 Personen die Wahrscheinlichkeit bereits über 50% liegt, dass mindestens zwei davon am gleichen Tag Geburtstag haben. Dies erscheint vielen Menschen überraschend, da intuitiv eine viel größere Gruppe erwartet wird.

Formel für die Wahrscheinlichkeit:
\[ P(\text{mindestens zwei gleiche}) = 1 - P(\text{alle verschieden}) \]
\[ P(\text{alle verschieden}) = \frac{365!}{365^n \cdot (365-n)!} \]
Vereinfacht: \[ P(\text{alle verschieden}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365} \]


Beispielrechnung für n = 23

Schritt 1: Wahrscheinlichkeit für alle verschiedene Geburtstage
\[ P(\text{alle verschieden}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdots \frac{343}{365} \]
\[ P(\text{alle verschieden}) = \prod_{i=0}^{22} \frac{365-i}{365} \approx 0.4927 \]
Schritt 2: Wahrscheinlichkeit für mindestens einen gleichen Geburtstag
\[ P(\text{mindestens zwei gleiche}) = 1 - 0.4927 = 0.5073 \]
Das entspricht etwa 50.7%.

Interpretation: Schon bei 23 Personen ist die Wahrscheinlichkeit größer als 50%, dass zwei von ihnen am gleichen Tag Geburtstag haben!


Wichtige Schwellenwerte

Anzahl Personen Wahrscheinlichkeit Prozent
100.11711.7%
200.41141.1%
230.50750.7%
300.70670.6%
400.89189.1%
500.97097.0%
700.999299.92%

Warum ist das ein Paradoxon?

Das Paradoxon entsteht durch die Verwechslung zweier Fragen:

  • Falsche Intuition: "Wie wahrscheinlich ist es, dass eine bestimmte Person den gleichen Geburtstag hat wie ich?" (sehr gering)

  • Tatsächliche Frage: "Wie wahrscheinlich ist es, dass irgendwelche zwei Personen den gleichen Geburtstag haben?" (viel höher)

Bei n Personen gibt es \(\displaystyle \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}\) verschiedene Paare. Bei 23 Personen sind das bereits 253 Paarkombinationen!

 Lageparameter
Arithmetisches-Mittel, Durchschnitt
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Kontraharmonisches Mittel
Log-Geometrisches Mittel
Median
Modus
Minimum und Maximum
Perzentile
Oberes Quartil
Unteres Quartil
Quantile
Streuungsmaße
Kurtosis
Skewness (Statistische Schiefe)
Standardabweichung
Gepoolte Standardabweichungl
Varianz
Gepoolte Varianz
Spannweite
Interquartilsabstand (IQR)
Korrelation & Zusammenhang
Kovarianz
Korrelationskoeffizient (Pearson, Spearman)
Rangkorrelation
Verteilungsfunktionen
Empirische inverse Verteilungsfunktion CDF
Empirische Verteilungsfunktion CDF
Five-Number Summary
Test & Schätzungen
T-Test (einfach)
Chi-Quadrat-Test
Wilcoxon-Test
Spezielle Verteilungen:
Normalverteilung
Binomialverteilung
Poisson-Verteilung
Exponentialverteilung
Risiko & Wahrscheinlichkeit
Geburtstagsparadoxon
Satz von Bayes