Exponentialverteilung Rechner

⏰ Dichtefunktion und Verteilungsfunktion

Die mathematischen Definitionen der Exponentialverteilung:

\[\text{Dichtefunktion (PDF): } f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0\] \[\text{Verteilungsfunktion (CDF): } F(x) = P(X \leq x) = 1 - e^{-\lambda x}\] \[\text{Überlebensfunktion: } S(x) = P(X > x) = e^{-\lambda x}\] \[\text{Hazard-Rate: } h(x) = \frac{f(x)}{S(x)} = \lambda \text{ (konstant!)}\] \[\text{Quantilfunktion: } F^{-1}(p) = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda}\]

🔄 Beziehung zur Poisson-Verteilung

Fundamentaler Zusammenhang zwischen Zeit- und Anzahlprozessen:

\[\text{Wenn Ereignisse Poisson-verteilt sind mit Rate λ:}\] \[\text{Anzahl in Zeitintervall [0,t]: } N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t)\] \[\text{Zeit zwischen Ereignissen: } T \sim \text{Exp}(\lambda)\] \[\text{Zeit bis k-tes Ereignis: } W_k \sim \text{Gamma}(k, \lambda)\] \[\text{Minimum von n unabhängigen Exp(λ): } \min(X_1,...,X_n) \sim \text{Exp}(n\lambda)\]

📊 Gedächtnislosigkeit und Eigenschaften

Einzigartige mathematische Eigenschaften:

\[\text{Gedächtnislosigkeit: } P(X > s+t | X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}\] \[\text{Skalierungseigenschaft: } cX \sim \text{Exp}(\lambda/c) \text{ für } c > 0\] \[\text{Charakterisierung: Einzige kontinuierliche gedächtnislose Verteilung}\] \[\text{Entropie: } H(X) = 1 - \ln(\lambda)\] \[\text{Moment generating function: } M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t} \text{ für } t < \lambda\]

📝 Beispiel 1: Elektronik-Lebensdauer

Aufgabe: Elektronikbauteil mit λ = 0.5 Ausfälle/Jahr
Gesucht: Wahrscheinlichkeit dass Bauteil länger als 2 Jahre hält
Berechnung:

\[\text{Parameter: } \lambda = 0.5, \quad t = 2\] \[\text{Schritt 1: Überlebensfunktion verwenden}\] \[P(X > 2) = e^{-\lambda t} = e^{-0.5 \cdot 2} = e^{-1}\] \[\text{Schritt 2: Berechnung}\] \[e^{-1} \approx 0.3679 = 36.79\%\] \[\text{Alternativ über CDF: } P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (1 - e^{-1}) = e^{-1}\]

Interpretation: 36.79% Wahrscheinlichkeit dass das Bauteil länger als 2 Jahre funktioniert

📝 Beispiel 2: Warteschlange im Service-Center

Aufgabe: Durchschnittliche Bedienzeit 2 Minuten (λ = 0.5/min)
Gesucht: Wahrscheinlichkeit dass Bedienung höchstens 3 Minuten dauert
Berechnung:

\[\text{Parameter: } \lambda = 0.5 \text{ pro Minute}, \quad t = 3 \text{ Minuten}\] \[P(X \leq 3) = 1 - e^{-\lambda t} = 1 - e^{-0.5 \cdot 3} = 1 - e^{-1.5}\] \[e^{-1.5} \approx 0.2231\] \[P(X \leq 3) = 1 - 0.2231 = 0.7769 = 77.69\%\] \[\text{Gedächtnislosigkeit: Unabhängig von bereits verstrichener Zeit}\]

Ergebnis: 77.69% Chance dass die Bedienung innerhalb von 3 Minuten abgeschlossen ist

📝 Beispiel 3: Zuverlässigkeitsanalyse

Aufgabe: System mit MTBF = 1000 Stunden, bedingte Wahrscheinlichkeit
Gesucht: P(X > 1500 | X > 500) unter Gedächtnislosigkeit
Berechnung:

\[\text{MTBF = } E[X] = \frac{1}{\lambda} = 1000 \Rightarrow \lambda = 0.001\] \[\text{Gedächtnislosigkeit: } P(X > 1500 | X > 500) = P(X > 1000)\] \[\text{weil } 1500 - 500 = 1000\] \[P(X > 1000) = e^{-\lambda \cdot 1000} = e^{-0.001 \cdot 1000} = e^{-1}\] \[= 0.3679 = 36.79\%\] \[\text{Vergleich ohne Bedingung: } P(X > 1500) = e^{-1.5} = 22.31\%\]

Fazit: Gedächtnislosigkeit führt zu höherer bedingter Überlebenswahrscheinlichkeit

🔗 Verwandte Verteilungen

Zusammenhänge mit anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen:

\[\text{Gamma-Verteilung: } \text{Exp}(\lambda) = \text{Gamma}(1, \lambda)\] \[\text{Weibull-Verteilung: } \text{Exp}(\lambda) = \text{Weibull}(1, 1/\lambda)\] \[\text{Geometrische Verteilung: diskrete analoge Verteilung}\] \[\text{Laplace-Verteilung: Differenz zweier unabhängiger Exp-Verteilungen}\] \[\text{Pareto-Verteilung: über Transformation verwandt}\] \[\text{Logarithmische Normalverteilung: über Logarithmus}\]

🎯 Parameterschätzung

Schätzung des Parameters λ:

\[\text{Maximum-Likelihood-Schätzer: } \hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{x}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}\] \[\text{Erwartungstreue: } E[\hat{\lambda}] = \frac{n\lambda}{n-1} \text{ (leicht biased)}\] \[\text{Unbiased Schätzer: } \hat{\lambda}_{unbiased} = \frac{n-1}{\sum_{i=1}^n x_i}\] \[\text{Konfidenzintervall (exakt): über Chi-Quadrat-Verteilung}\] \[\left[\frac{2n\hat{\lambda}}{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}, \frac{2n\hat{\lambda}}{\chi^2_{2n,\alpha/2}}\right]\]

📈 Anpassungstests

Tests auf Exponentialverteilung:

\[\text{Kolmogorov-Smirnov Test:}\] \[D_n = \sup_x |F_n(x) - F(x)| = \sup_x |F_n(x) - (1-e^{-\hat{\lambda}x})|\] \[\text{Anderson-Darling Test (besser für Taillen):}\] \[A^2 = -n - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (2i-1)[\ln F(x_i) + \ln(1-F(x_{n+1-i}))]\] \[\text{Lilliefors Test: Modifikation für geschätzte Parameter}\]

💻 Algorithmen und Implementation

Effiziente Berechnung der Exponentialverteilung:

Python (SciPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# Exponentialverteilung (rate parameterization):
stats.expon.cdf(x, scale=1/lambd) # P(X ≤ x)
stats.expon.pdf(x, scale=1/lambd) # Dichtefunktion
stats.expon.ppf(q, scale=1/lambd) # Quantil
stats.expon.rvs(scale=1/lambd, size=1000) # Zufallszahlen

R:
pexp(x, rate=lambd) # P(X ≤ x)
dexp(x, rate=lambd) # Dichtefunktion
qexp(q, rate=lambd) # Quantil
rexp(1000, rate=lambd) # Zufallszahlen

Inverse Transform Sampling: x = -ln(1-u)/λ

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Gedächtnislosigkeit prüfen: Ist Vergangenheit wirklich irrelevant?}\] \[\text{2. Konstante Hazard-Rate: Ausfallrate sollte zeitlich konstant sein}\] \[\text{3. Bei Alterung: Weibull-Verteilung verwenden}\] \[\text{4. Parameterization beachten: Rate vs. Scale Parameter}\] \[\text{5. Kleine λ: Vorsicht bei numerischer Stabilität}\]