Poisson-Verteilung Rechner

⚡ Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die mathematische Definition der Poisson-Verteilung:

\[\text{Wahrscheinlichkeitsfunktion: } P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}\] \[\text{Verteilungsfunktion: } F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^k \frac{\lambda^i}{i!} e^{-\lambda}\] \[\text{Gültigkeitsbereich: } k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}, \quad \lambda > 0\] \[\text{Normierung: } \sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1\] \[\text{Charakteristische Eigenschaft: } E(X) = \text{Var}(X) = \lambda\]

📊 Poisson-Prozess

Eigenschaften des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses:

\[\text{1. Stationarität: Rate λ ist zeitlich konstant}\] \[\text{2. Unabhängigkeit: Ereignisse in disjunkten Intervallen sind unabhängig}\] \[\text{3. Ordinarität: Höchstens ein Ereignis pro infinitesimal kleinem Intervall}\] \[\text{4. Additivität: } \text{Poisson}(\lambda_1) + \text{Poisson}(\lambda_2) = \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)\] \[\text{5. Skalierung: Für Intervall der Länge t: } X_t \sim \text{Poisson}(\lambda \cdot t)\]

🔄 Grenzwertsätze und Approximationen

Beziehungen zu anderen Verteilungen:

\[\text{Grenzwert der Binomialverteilung (n groß, p klein):}\] \[\lim_{n \to \infty, p \to 0, np \to \lambda} \text{Bin}(n,p) = \text{Poisson}(\lambda)\] \[\text{Normalapproximation (λ groß):}\] \[X \approx N(\lambda, \lambda) \text{ für } \lambda \geq 10\] \[\text{Mit Stetigkeitskorrektur: } P(X = k) \approx P(k-0.5 < Y < k+0.5)\] \[\text{Chi-Quadrat-Beziehung: } 2X \sim \chi^2_{2k+2} \text{ (approximativ)}\]

📝 Beispiel 1: Telefonanrufe im Callcenter

Aufgabe: Callcenter erhält durchschnittlich 4 Anrufe pro Minute
Gesucht: Wahrscheinlichkeit für genau 2 Anrufe in einer Minute
Berechnung:

\[\text{Parameter: } \lambda = 4, \quad k = 2\] \[\text{Schritt 1: Wahrscheinlichkeitsfunktion anwenden}\] \[P(X = 2) = \frac{4^2}{2!} e^{-4} = \frac{16}{2} \cdot e^{-4}\] \[\text{Schritt 2: Berechnung}\] \[e^{-4} \approx 0.0183, \quad \frac{16}{2} = 8\] \[P(X = 2) = 8 \cdot 0.0183 = 0.1465 \approx 14.65\%\]

Interpretation: 14.65% Wahrscheinlichkeit für genau 2 Anrufe pro Minute

📝 Beispiel 2: Seltene Defekte in der Produktion

Aufgabe: Produktionslinie mit 0.5 Defekten pro Stunde im Durchschnitt
Gesucht: Wahrscheinlichkeit für keine Defekte in einer Stunde
Berechnung:

\[\text{Parameter: } \lambda = 0.5, \quad k = 0\] \[P(X = 0) = \frac{0.5^0}{0!} e^{-0.5} = \frac{1}{1} \cdot e^{-0.5}\] \[e^{-0.5} \approx 0.6065\] \[P(X = 0) = 0.6065 \approx 60.65\%\] \[\text{Zusätzlich: } P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)\] \[P(X = 1) = 0.5 \cdot e^{-0.5} \approx 0.3033\] \[P(X \leq 1) = 0.6065 + 0.3033 = 0.9098 = 90.98\%\]

Ergebnis: 60.65% für keine Defekte, 90.98% für höchstens einen Defekt

📝 Beispiel 3: Normalapproximation

Aufgabe: Webserver mit λ = 20 Requests/Minute, P(18 ≤ X ≤ 22)?
Methode: Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur
Berechnung:

\[\text{Parameter: } \lambda = 20, \text{ also } \mu = \sigma^2 = 20, \quad \sigma = \sqrt{20} \approx 4.47\] \[\text{Mit Stetigkeitskorrektur: } P(17.5 < X < 22.5)\] \[Z_1 = \frac{17.5 - 20}{4.47} = -0.56, \quad Z_2 = \frac{22.5 - 20}{4.47} = 0.56\] \[P(18 \leq X \leq 22) \approx \Phi(0.56) - \Phi(-0.56) = 0.7123 - 0.2877 = 0.4246\] \[\text{Vergleich mit exakter Poisson-Berechnung würde ähnliches Ergebnis liefern}\]

Fazit: 42.46% Wahrscheinlichkeit für 18-22 Requests (Approximation)

🔗 Verwandte Verteilungen und Prozesse

Erweiterungen und Verallgemeinerungen:

\[\text{Compound Poisson: } S = \sum_{i=1}^N Y_i, \text{ wobei } N \sim \text{Poisson}(\lambda)\] \[\text{Mixed Poisson: Rate λ ist selbst zufällig}\] \[\text{Non-homogeneous Poisson: λ(t) zeitabhängig}\] \[\text{Negative Binomial: Poisson mit Gamma-gemischter Rate}\] \[\text{Conway-Maxwell-Poisson: Verallgemeinerte Poisson-Familie}\] \[\text{Spatial Poisson: Ereignisse in räumlichen Gebieten}\]

🎯 Parameterschätzung

Schätzung des Parameters λ:

\[\text{Maximum-Likelihood-Schätzer: } \hat{\lambda} = \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\] \[\text{Erwartungstreue: } E[\hat{\lambda}] = \lambda\] \[\text{Varianz des Schätzers: } \text{Var}(\hat{\lambda}) = \frac{\lambda}{n}\] \[\text{Konfidenzintervall (große Stichproben):}\] \[\hat{\lambda} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{\lambda}}{n}}\] \[\text{Exaktes Konfidenzintervall über Chi-Quadrat-Verteilung}\]

📈 Anpassungstests

Tests auf Poisson-Verteilung:

\[\text{Chi-Quadrat-Anpassungstest:}\] \[\chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\] \[\text{wobei } O_i \text{ beobachtete, } E_i \text{ erwartete Häufigkeiten}\] \[\text{Index of Dispersion Test:}\] \[D = \frac{s^2}{\bar{x}} \text{ sollte ≈ 1 sein für Poisson-Daten}\] \[\text{Kolmogorov-Smirnov Test für kontinuierliche Alternative}\]

💻 Algorithmen und Implementation

Effiziente Berechnung der Poisson-Verteilung:

Python (SciPy):
from scipy import stats
import numpy as np
# Poisson-Verteilung:
stats.poisson.pmf(k, mu) # P(X = k)
stats.poisson.cdf(k, mu) # P(X ≤ k)
stats.poisson.ppf(q, mu) # Quantil
stats.poisson.rvs(mu, size=1000) # Zufallszahlen

R:
dpois(k, lambda) # P(X = k)
ppois(k, lambda) # P(X ≤ k)
qpois(q, lambda) # Quantil
rpois(1000, lambda) # Zufallszahlen

Excel: POISSON.DIST, POISSON.INV

💡 Praktische Tipps

Hinweise für die korrekte Anwendung:

\[\text{1. Überprüfung der Poisson-Annahmen (Seltenheit, Unabhängigkeit)}\] \[\text{2. Bei großen λ: Normalapproximation verwenden}\] \[\text{3. Overdispersion prüfen: Var(X) > E(X) deutet auf andere Verteilung}\] \[\text{4. Zeitintervall klar definieren für λ-Interpretation}\] \[\text{5. Bei gemischten Populationen: Mixed Poisson erwägen}\]