Satz von Bayes Rechner

Online Rechner für bedingte Wahrscheinlichkeiten nach dem Satz von Bayes


P(A) Wahrscheinlichkeit
P(B|A) - Likelihood
P(B|¬A) Falsch-positiv-Rate
Dezimalstellen
P(A|B)
In Prozent

Geben Sie die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A), die Likelihood P(B|A) und die Falsch-positiv-Rate P(B|¬A) ein. Der Rechner berechnet die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B).

Eingabeformat

Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen zwischen 0 und 1.


Der Satz von Bayes

Der Satz von Bayes beschreibt, wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten aktualisiert, wenn neue Informationen verfügbar werden. Er ist fundamental für die Bayessche Statistik und hat viele Anwendungen in der Medizin, Diagnostik und im maschinellen Lernen.

Formel:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
Mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit: \[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \]
Vollständige Formel: \[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)} \]

Begriffe:

  • P(A): A-priori-Wahrscheinlichkeit (Vorwissen)
  • P(B|A): Likelihood (Wahrscheinlichkeit für B gegeben A)
  • P(A|B): A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (aktualisiertes Wissen)
  • P(B): Evidenz (Gesamtwahrscheinlichkeit für B)


Beispielrechnung: Medizinischer Test

Szenario: Ein Test für eine seltene Krankheit
P(A) = 0.01 (1% der Bevölkerung ist krank)
P(B|A) = 0.95 (Test erkennt 95% der Kranken)
P(B|¬A) = 0.05 (Test ist bei 5% der Gesunden falsch positiv)

Schritt 1: P(¬A) berechnen
P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.01 = 0.99

Schritt 2: P(B) berechnen (Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit)
P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|¬A) × P(¬A)
P(B) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Schritt 3: Satz von Bayes anwenden
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
P(A|B) = (0.95 × 0.01) / 0.059 = 0.0095 / 0.059 ≈ 0.1610

Ergebnis: Nur etwa 16,1% der positiv getesteten Personen sind tatsächlich krank!

Interpretation: Obwohl der Test sehr genau ist (95% Sensitivität), ist die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test tatsächlich krank zu sein, nur 16,1%. Das liegt an der niedrigen Grundwahrscheinlichkeit der Krankheit (1%).

Anwendungen

  • Medizin: Diagnostische Tests, Screening-Programme
  • Spam-Filter: E-Mail-Klassifikation
  • Maschinelles Lernen: Naive Bayes Klassifikatoren
  • Forensik: DNA-Analysen, Beweismittel-Bewertung
  • Risikobewertung: Versicherungen, Finanzen

Basisraten-Irrtum

Das Beispiel zeigt den Basisraten-Irrtum: Menschen überschätzen oft die Bedeutung spezifischer Informationen (Testergebnis) und unterschätzen die Basisrate (Krankheitshäufigkeit). Der Satz von Bayes korrigiert diese Verzerrung mathematisch.