Satz von Bayes Rechner
Online Rechner für bedingte Wahrscheinlichkeiten nach dem Satz von Bayes
|
Geben Sie die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A), die Likelihood P(B|A) und die Falsch-positiv-Rate P(B|¬A) ein. Der Rechner berechnet die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit P(A|B).
Eingabeformat
Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen zwischen 0 und 1.
Der Satz von Bayes
Der Satz von Bayes beschreibt, wie man bedingte Wahrscheinlichkeiten aktualisiert, wenn neue Informationen verfügbar werden. Er ist fundamental für die Bayessche Statistik und hat viele Anwendungen in der Medizin, Diagnostik und im maschinellen Lernen.
Formel:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]
Mit dem Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit:
\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \]
Vollständige Formel:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)} \]
Begriffe:
- P(A): A-priori-Wahrscheinlichkeit (Vorwissen)
- P(B|A): Likelihood (Wahrscheinlichkeit für B gegeben A)
- P(A|B): A-posteriori-Wahrscheinlichkeit (aktualisiertes Wissen)
- P(B): Evidenz (Gesamtwahrscheinlichkeit für B)
Beispielrechnung: Medizinischer Test
Szenario: Ein Test für eine seltene Krankheit
P(A) = 0.01 (1% der Bevölkerung ist krank)
P(B|A) = 0.95 (Test erkennt 95% der Kranken)
P(B|¬A) = 0.05 (Test ist bei 5% der Gesunden falsch positiv)
Schritt 1: P(¬A) berechnen
P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.01 = 0.99
Schritt 2: P(B) berechnen (Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit)
P(B) = P(B|A) × P(A) + P(B|¬A) × P(¬A)
P(B) = 0.95 × 0.01 + 0.05 × 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059
Schritt 3: Satz von Bayes anwenden
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
P(A|B) = (0.95 × 0.01) / 0.059 = 0.0095 / 0.059 ≈ 0.1610
Ergebnis: Nur etwa 16,1% der positiv getesteten Personen sind tatsächlich krank!
Interpretation: Obwohl der Test sehr genau ist (95% Sensitivität), ist die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test tatsächlich krank zu sein, nur 16,1%. Das liegt an der niedrigen Grundwahrscheinlichkeit der Krankheit (1%).
Anwendungen
- Medizin: Diagnostische Tests, Screening-Programme
- Spam-Filter: E-Mail-Klassifikation
- Maschinelles Lernen: Naive Bayes Klassifikatoren
- Forensik: DNA-Analysen, Beweismittel-Bewertung
- Risikobewertung: Versicherungen, Finanzen
Basisraten-Irrtum
Das Beispiel zeigt den Basisraten-Irrtum: Menschen überschätzen oft die Bedeutung spezifischer Informationen (Testergebnis) und unterschätzen die Basisrate (Krankheitshäufigkeit). Der Satz von Bayes korrigiert diese Verzerrung mathematisch.
Arithmetisches-Mittel, DurchschnittStreuungsmaße
Geometrisches Mittel
Harmonisches Mittel
Kontraharmonisches Mittel
Log-Geometrisches Mittel
Median
Modus
Minimum und Maximum
Perzentile
Oberes Quartil
Unteres Quartil
Quantile
KurtosisKorrelation & Zusammenhang
Skewness (Statistische Schiefe)
Standardabweichung
Gepoolte Standardabweichungl
Varianz
Gepoolte Varianz
Spannweite
Interquartilsabstand (IQR)
KovarianzVerteilungsfunktionen
Korrelationskoeffizient (Pearson, Spearman)
Rangkorrelation
Empirische inverse Verteilungsfunktion CDFTest & Schätzungen
Empirische Verteilungsfunktion CDF
Five-Number Summary
T-Test (einfach)Spezielle Verteilungen:
Chi-Quadrat-Test
Wilcoxon-Test
NormalverteilungRisiko & Wahrscheinlichkeit
Binomialverteilung
Poisson-Verteilung
Exponentialverteilung
Geburtstagsparadoxon
Satz von Bayes