Dreieck Seitenhalbierende Rechner

Online Rechner für Seitenhalbierenden (Medianen), Schwerpunkt und Schwerlinien


Eingabe (mindestens 3 Seiten):
Seite a
Seite b
Seite c
Median $m_a$
Median $m_b$
Median $m_c$
Dezimalstellen
Seite a
Seite b
Seite c
Median $m_a$
Median $m_b$
Median $m_c$
Fläche (A)
Umfang (U)

Geben Sie die drei Seitenlängen ein oder kombinieren Sie Seiten mit Medianen. Der Rechner berechnet automatisch alle Seitenhalbierenden und Dreieckseigenschaften.

Eingaberegeln

• Mindestens drei Werte erforderlich
• Entweder alle drei Seiten oder Kombination
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
• Dreiecksungleichung muss erfüllt sein


rechtwinkliges Dreieck

Seitenhalbierenden (Medianen) im Dreieck

Eine Seitenhalbierende (auch Median oder Schwerlinie genannt) ist eine Strecke, die einen Eckpunkt des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierenden, die sich alle im Schwerpunkt treffen.

Eigenschaften der Seitenhalbierenden:

  • Schwerpunkt: Alle drei Medianen schneiden sich in einem Punkt
  • Teilungsverhältnis: Der Schwerpunkt teilt jede Median im Verhältnis 2:1
  • Flächenteilung: Jede Median teilt das Dreieck in zwei flächengleiche Hälften
  • Parallelogramm der Medianen: Die Medianen bilden ein charakteristisches Muster

Formeln für Seitenhalbierenden

Bezeichnungen: $a$, $b$, $c$ = Seiten, $m_a$, $m_b$, $m_c$ = Medianen (Seitenhalbierenden)

Medianformeln:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$ $$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$$ $$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$
Apollonius-Theorem:
$$a^2 + b^2 + c^2 = \frac{4}{3}(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2)$$
Fläche aus Medianen:
$$A = \frac{4}{3}\sqrt{s_m(s_m-m_a)(s_m-m_b)(s_m-m_c)}$$ wobei $s_m = \frac{m_a + m_b + m_c}{2}$ der Halbumfang der Medianen ist.

Umfang:
$$U = a + b + c$$

rechtwinkliges Dreieck

Beispielrechnung

Gegeben: Seiten $a = 5$ cm, $b = 6$ cm, $c = 7$ cm

Median $m_a$ berechnen:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \times 6^2 + 2 \times 7^2 - 5^2}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 98 - 25} = \frac{1}{2}\sqrt{145} \approx 6{,}02$ cm

Median $m_b$ berechnen:
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \times 5^2 + 2 \times 7^2 - 6^2}$
$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 98 - 36} = \frac{1}{2}\sqrt{112} \approx 5{,}29$ cm

Median $m_c$ berechnen:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \times 5^2 + 2 \times 6^2 - 7^2}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{50 + 72 - 49} = \frac{1}{2}\sqrt{73} \approx 4{,}27$ cm

Fläche berechnen (Heron):
$s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$
$A = \sqrt{9 \times (9-5) \times (9-6) \times (9-7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} \approx 14{,}70$ cm²

Apollonius-Theorem prüfen:
$a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 36 + 49 = 110$
$\frac{4}{3}(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2) = \frac{4}{3}(36{,}24 + 27{,}99 + 18{,}24) \approx 109{,}96$ ✓

Rückrechnungsformeln

Seiten aus Medianen:
$a = \sqrt{\frac{4}{3}(m_b^2 + m_c^2) - \frac{4}{3} \cdot m_a^2}$
$b = \sqrt{\frac{4}{3}(m_a^2 + m_c^2) - \frac{4}{3} \cdot m_b^2}$
$c = \sqrt{\frac{4}{3}(m_a^2 + m_b^2) - \frac{4}{3} \cdot m_c^2}$

Alternative Darstellung:
$a^2 = \frac{4}{3}\left(m_b^2 + m_c^2 - \frac{m_a^2}{2}\right)$
$b^2 = \frac{4}{3}\left(m_a^2 + m_c^2 - \frac{m_b^2}{2}\right)$
$c^2 = \frac{4}{3}\left(m_a^2 + m_b^2 - \frac{m_c^2}{2}\right)$

Der Schwerpunkt (Zentroid)

Eigenschaften des Schwerpunkts:

  • Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden
  • Teilt jede Median im Verhältnis 2:1 vom Eckpunkt aus
  • Schwerpunkt ist der Massenmittelpunkt bei gleichmäßiger Massenverteilung
  • Koordinaten: $S = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
Abstände vom Schwerpunkt:
  • Vom Eckpunkt zur Seitenmitte: $\frac{2}{3}$ der Medianlänge
  • Vom Schwerpunkt zur Seitenmitte: $\frac{1}{3}$ der Medianlänge
  • Der Schwerpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks


Besondere Dreiecke und ihre Medianen

Gleichseitiges Dreieck:

  • Alle Medianen gleich lang: $m_a = m_b = m_c = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • Medianen sind gleichzeitig Höhen und Winkelhalbierende
  • Schwerpunkt = Umkreismittelpunkt = Inkreismittelpunkt
Gleichschenkliges Dreieck ($a = b$):
  • Zwei Medianen gleich lang: $m_a = m_b$
  • Median zur Basis ist gleichzeitig Höhe und Symmetrieachse
  • Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse
Rechtwinkliges Dreieck:
  • Median zur Hypotenuse: $m_c = \frac{c}{2}$ (halbe Hypotenuse)
  • Dies ist eine besondere Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke
  • Schwerpunkt liegt nicht im Umkreismittelpunkt


Praktische Anwendungen

Seitenhalbierenden und Schwerpunkt sind wichtig in:

  • Statik: Schwerpunktbestimmung, Gleichgewicht
  • Architektur: Stabilitätsberechnungen, Lastverteilung
  • Maschinenbau: Massenträgheitsmomente, Balancierung
  • Computergrafik: Triangulation, Flächenberechnung
  • Vermessung: Flächenteilung, Landvermessung
  • Physik: Mechanik starrer Körper, Rotationsdynamik


Interessante Eigenschaften

Varignon'sches Parallelogramm:

  • Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten, entsteht ein Parallelogramm
  • Dieses Parallelogramm hat die halbe Fläche des ursprünglichen Dreiecks
  • Die Diagonalen dieses Parallelogramms sind Medianen des Dreiecks
Flächenteilung durch Medianen:
  • Jede Median teilt das Dreieck in zwei kongruente Hälften
  • Alle drei Medianen zusammen teilen das Dreieck in 6 kleinere Dreiecke
  • Diese 6 Dreiecke haben alle die gleiche Fläche (je $\frac{1}{6}$ der Gesamtfläche)

Geometrie Rechner 2D Runde Formen
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Dreieck
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