Symmetrisches Trapez Rechner
Online Rechner für gleichschenklige Trapeze
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Geben Sie mindestens zwei Werte des symmetrischen Trapezes ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften.
Eingaberegeln
• Untere Basis (a) und Schenkel (d) oder
• Winkel α und eine Seitenlänge oder
• Höhe h und eine Seitenlänge
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
Das symmetrische Trapez - Gleichschenkliges Viereck
Ein symmetrisches Trapez (auch gleichschenkliges Trapez genannt) ist ein spezielles Trapez mit zwei parallelen Seiten und zwei gleich langen Schenkeln. Diese Symmetrie verleiht dem Trapez besondere geometrische Eigenschaften.
Charakteristische Eigenschaften
Symmetrie-Merkmale:
- Gleiche Schenkel: Die schrägen Seiten sind gleich lang (b = d)
- Symmetrieachse: Senkrecht zu den parallelen Seiten durch die Mitte
- Gleiche Basiswinkel: α = β und γ = δ
- Gleiche Diagonalen: p = q
- Umkreis existiert: Alle vier Eckpunkte liegen auf einem Kreis
Grundlegende Formeln
Flächenberechnung:
$$A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = m \cdot h$$
wobei $m = \frac{a + c}{2}$ die mittlere Breite ist.
Höhenberechnung:
$$h = d \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{d^2 - \left(\frac{a-c}{2}\right)^2}$$
Obere Basis aus Geometrie:
$$c = a - 2d \cdot \cos(\alpha)$$
Umfang:
$$U = a + c + 2d = a + c + 2b$$
Diagonalen (gleich lang):
$$p = q = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a+c}{2}\right)^2}$$
Berechnungsbeispiele
Beispiel 1: Aus a und d
Gegeben: a = 12 cm, d = 5 cm, α = 60°
Höhe berechnen:
$h = d \cdot \sin(60°) = 5 \cdot 0{,}866 = 4{,}33$ cm
Obere Basis c:
$c = a - 2d \cdot \cos(60°) = 12 - 2 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 7$ cm
Fläche: $A = \frac{(12 + 7) \times 4{,}33}{2} = 41{,}14$ cm²
Beispiel 2: Aus a und h
Gegeben: a = 10 cm, h = 4 cm, d = 5 cm
Obere Basis c:
$c = a - 2\sqrt{d^2 - h^2} = 10 - 2\sqrt{25 - 16} = 10 - 6 = 4$ cm
Winkel α:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right) = 53{,}13°$
Fläche: $A = \frac{(10 + 4) \times 4}{2} = 28$ cm²
Anwendungen und Konstruktion
Praktische Anwendungen:
• Architektur: Dachformen, Brückenbögen, Fensterformen
• Technik: Getriebezähne, Keilriemen-Profile
• Design: Logos, symmetrische Muster, Schmuck
• Optik: Prismen, Linsenformen
Konstruktionsverfahren:
1. Aus Basis und Winkel: Trage den Winkel an beiden Enden der Basis an
2. Aus Basis und Schenkel: Schlage Kreise mit Radius d um die Basisenden
3. Symmetrieachse nutzen: Konstruiere die Mittelachse und spiegele
KreisDreiecke
DreieckSpezielle Vierecke
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)
QuadratPolygone
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rechteckiger Rahmen
Konkaves Viereck Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt
Pentagon (Fünfeck)Allgemeine Vierecke
Hexagon (Sechseck)
Heptagon (Siebeneck)
Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)