Symmetrisches Trapez Rechner
Online Rechner für gleichschenklige Trapeze
Geben Sie mindestens zwei Werte des symmetrischen Trapezes ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften.
Eingaberegeln
• Untere Basis (a) und Schenkel (d) oder
• Winkel α und eine Seitenlänge oder
• Höhe h und eine Seitenlänge
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
Symmetrie-Eigenschaften
• Gleiche Schenkel: b = d automatisch
• Gleiche Basiswinkel: α = β
• Gleiche Diagonalen: p = q
Das symmetrische Trapez - Gleichschenkliges Viereck
Ein symmetrisches Trapez (auch gleichschenkliges Trapez genannt) ist ein spezielles Trapez mit zwei parallelen Seiten und zwei gleich langen Schenkeln. Diese Symmetrie verleiht dem Trapez besondere geometrische Eigenschaften.
🔶 Symmetrie-Merkmale
- • Gleiche Schenkel: b = d
- • Symmetrieachse: Senkrecht zu den Basen
- • Gleiche Basiswinkel: α = β
- • Gleiche Diagonalen: p = q
📐 Besondere Eigenschaften
- • Umkreis existiert: Alle Eckpunkte auf Kreis
- • Mittelsenkrechte: Ist Symmetrieachse
- • Winkelbeziehung: α + γ = 180°
- • Achsensymmetrisch zur Mittellinie
Grundlegende Formeln
📊 Formeln für das symmetrische Trapez:
Flächenberechnung:
$$A = \frac{1}{2} \cdot (a + c) \cdot h = m \cdot h$$
Höhenberechnung:
$$h = d \cdot \sin(\alpha) = \sqrt{d^2 - \left(\frac{a-c}{2}\right)^2}$$
Obere Basis:
$$c = a - 2d \cdot \cos(\alpha)$$
Umfang:
$$U = a + c + 2d$$
Diagonalen (gleich lang):
$$p = q = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a+c}{2}\right)^2}$$
Berechnungsbeispiele
📝 Beispielrechnung: a = 12 cm, d = 5 cm, α = 60°
Höhe berechnen:
$h = d \cdot \sin(60°) = 5 \cdot 0{,}866 = 4{,}33$ cm
Obere Basis c:
$c = a - 2d \cdot \cos(60°) = 12 - 2 \cdot 5 \cdot 0{,}5 = 7$ cm
Mittlere Breite:
$m = \frac{a + c}{2} = \frac{12 + 7}{2} = 9{,}5$ cm
Fläche:
$A = m \times h = 9{,}5 \times 4{,}33 = 41{,}14$ cm²
Umfang:
$U = a + c + 2d = 12 + 7 + 10 = 29$ cm
Diagonalen:
$p = q = \sqrt{h^2 + m^2} = \sqrt{4{,}33^2 + 9{,}5^2} = 10{,}45$ cm
Praktische Anwendungen
🏗️ Architektur & Bau
- • Dachformen und Giebel
- • Brückenbögen
- • Fenster- und Türformen
- • Treppenhaus-Querschnitte
⚙️ Technik & Design
- • Getriebezähne
- • Keilriemen-Profile
- • Optische Prismen
- • Logos und Symbole
🌟 Das symmetrische Trapez - Perfekte Balance:
- Elegante Symmetrie: Achsensymmetrisch zur Mittellinie
- Gleiche Eigenschaften: Schenkel, Basiswinkel und Diagonalen paarweise gleich
- Konstruktive Vorteile: Umkreis möglich, stabile Konstruktion
- Mathematische Eleganz: Vereinfachte Formeln durch Symmetrie
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