Raute Rechner

Online Rechner für alle Berechnungen an der Raute (Rhombus)

Eingabe (mindestens zwei Werte):

Seitenlänge ($a$)

Diagonale e ($e$)

Diagonale f ($f$)

Winkel α (Grad)

Fläche ($A$)

Umfang ($U$)

Höhe ($h$)

Inkreisradius ($r$)

Dezimalstellen

Seitenlänge ($a$)

Diagonale e ($e$)

Diagonale f ($f$)

Winkel α

Winkel β

Fläche ($A$)

Umfang ($U$)

Höhe ($h$)

Inkreisradius ($r$)

Geben Sie mindestens zwei bekannte Werte ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften der Raute (Rhombus).

Eingabeformat

• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
• Winkel in Grad (0° bis 180°)
• Mindestens zwei Werte erforderlich

Beste Eingabkombinationen:

Beide Diagonalen: Vollständige Berechnung aller Eigenschaften
Seitenlänge + Winkel: Alle Eigenschaften berechenbar
Seitenlänge + Fläche/Höhe: Bestimmung der restlichen Werte

Raute

Die Raute (Rhombus)

Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein spezielles Parallelogramm, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind. Sie ist ein vielseitiges geometrisches Objekt mit besonderen Eigenschaften und findet in vielen Bereichen Anwendung.

Eigenschaften:

Alle Seiten gleich lang: $a = b = c = d$
Gegenüberliegende Winkel gleich: $\alpha = \gamma$ und $\beta = \delta$
Benachbarte Winkel supplementär: $\alpha + \beta = 180°$
Diagonalen halbieren sich rechtwinklig: $e \perp f$
Punktsymmetrie: zum Schnittpunkt der Diagonalen
Zwei Symmetrieachsen: entlang der Diagonalen

Grundlegende Formeln

Fläche:
$$A = \frac{e \cdot f}{2} = a^2 \cdot \sin(\alpha) = a \cdot h$$
Umfang:
$$U = 4a$$
Diagonalen:
$$e = 2a \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$ $$f = 2a \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \cdot \cos\left(\frac{\beta}{2}\right)$$
Seitenlänge aus Diagonalen:
$$a = \frac{1}{2}\sqrt{e^2 + f^2}$$
Höhe:
$$h = a \cdot \sin(\alpha) = \frac{A}{a}$$
Inkreisradius:
$$r = \frac{A}{2a} = \frac{a \cdot \sin(\alpha)}{2}$$

Winkelbeziehungen

Aus Diagonalen:
$$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{f}{e}$$ $$\alpha = 2 \cdot \arctan\left(\frac{f}{e}\right)$$ $$\beta = 180° - \alpha$$
Aus Seitenlänge und Diagonale:
$$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{e}{2a}$$ $$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{f}{2a}$$

Rückrechnungsformeln

Seitenlänge aus anderen Werten:
• Aus Umfang: $a = \frac{U}{4}$
• Aus Diagonalen: $a = \frac{1}{2}\sqrt{e^2 + f^2}$
• Aus Fläche und Winkel: $a = \sqrt{\frac{A}{\sin(\alpha)}}$
• Aus Fläche und Höhe: $a = \frac{A}{h}$
• Aus Inkreisradius: $a = \frac{A}{2r}$ (mit bekannter Fläche)

Diagonalen aus anderen Werten:
• Aus Fläche: $e \cdot f = 2A$
• Aus Seitenlänge und Winkel: $e = 2a \cos(\alpha/2)$, $f = 2a \sin(\alpha/2)$
• Eine aus der anderen: $e^2 + f^2 = 4a^2$

Fläche aus anderen Werten:
• Aus Diagonalen: $A = \frac{e \cdot f}{2}$
• Aus Seitenlänge und Winkel: $A = a^2 \sin(\alpha)$
• Aus Seitenlänge und Höhe: $A = a \cdot h$
• Aus Inkreisradius: $A = 2ar$ (mit bekannter Seitenlänge)

Beispielrechnung

Gegeben: Diagonale $e = 8$ cm, Diagonale $f = 6$ cm

Seitenlänge berechnen:
$a = \frac{1}{2}\sqrt{e^2 + f^2} = \frac{1}{2}\sqrt{8^2 + 6^2} = \frac{1}{2}\sqrt{64 + 36} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5$ cm

Fläche berechnen:
$A = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$ cm²

Umfang berechnen:
$U = 4a = 4 \cdot 5 = 20$ cm

Winkel berechnen:
$\tan(\alpha/2) = \frac{f}{e} = \frac{6}{8} = 0{,}75$
$\alpha/2 = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87°$
$\alpha \approx 73{,}74°$, $\beta \approx 106{,}26°$

Höhe berechnen:
$h = \frac{A}{a} = \frac{24}{5} = 4{,}8$ cm

Inkreisradius berechnen:
$r = \frac{A}{2a} = \frac{24}{2 \cdot 5} = 2{,}4$ cm

Besondere Eigenschaften

Symmetrie:

Die Raute hat 2 Symmetrieachsen (Diagonalen)
Sie ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt
Bei α = 90° wird sie zum Quadrat (4 Symmetrieachsen)
Drehsymmetrie: 2-zählig (180°)

Diagonalen:

Stehen immer senkrecht aufeinander
Halbieren sich gegenseitig
Sind Symmetrieachsen der Raute
Teilen die Raute in 4 kongruente rechtwinklige Dreiecke

Winkel:

Gegenüberliegende Winkel sind gleich
Benachbarte Winkel ergänzen sich zu 180°
Die Winkel bestimmen die Form der Raute

Spezialfälle

Quadrat ($\alpha = 90°$):
• Alle Winkel sind rechte Winkel
• Diagonalen sind gleich lang: $e = f = a\sqrt{2}$
• Fläche: $A = a^2$
• 4 Symmetrieachsen statt 2

Sehr flache Raute ($\alpha \to 0°$):
• Eine Diagonale wird sehr lang, die andere sehr kurz
• Höhe geht gegen 0
• Fläche geht gegen 0

Gleichseitige Raute ($\alpha = 60°$):
• Kann in 6 gleichseitige Dreiecke geteilt werden
• Besondere Beziehungen zu hexagonalen Strukturen
• $e = a\sqrt{3}$, $f = a$

Konstruktion einer Raute

Methode 1 - Aus zwei Diagonalen:
1. Zeichne die erste Diagonale $e$
2. Errichte in der Mitte eine senkrechte Linie
3. Trage die halbe zweite Diagonale $f/2$ nach beiden Seiten ab
4. Verbinde die vier Endpunkte

Methode 2 - Aus Seitenlänge und Winkel:
1. Zeichne eine Seite der Länge $a$
2. Trage an beiden Enden den Winkel $\alpha$ bzw. $\beta$ an
3. Zeichne die angrenzenden Seiten
4. Schließe das Viereck

Methode 3 - Parallelogramm-Konstruktion:
1. Zeichne zwei gleich lange Seiten im gewünschten Winkel
2. Vervollständige durch parallele Linien

Praktische Anwendungen

Technik und Ingenieurwesen:
• Fachwerk-Konstruktionen
• Gitternetzstrukturen
• Kristallgitter (Rhomboedrische Kristalle)
• Mechanische Verbindungen

Architektur und Design:
• Fliesenmuster und Parkettierungen
• Fenster- und Türformen
• Moderne Architektur
• Ornamente und Verzierungen

Natur und Wissenschaft:
• Kristallstrukturen (Calcit, Dolomit)
• Molekülgeometrie
• Bienenwaben-ähnliche Strukturen
• Optische Anwendungen (Rhombusprismen)

Alltag und Kunst:
• Spielkarten (Karo-Symbol)
• Logos und Grafiken
• Textile Muster
• Schmuck und Edelsteine

Mathematische Beziehungen

Zu anderen Vierecken:
• Parallelogramm: Raute ist Spezialfall mit gleichen Seiten
• Quadrat: Raute mit rechten Winkeln
• Deltoid: Verwandt, aber andere Symmetrie

Trigonometrische Beziehungen:
• $\cos(\alpha) = \frac{e^2 - f^2}{e^2 + f^2}$
• $\sin(\alpha) = \frac{2ef}{e^2 + f^2}$
• $e^2 + f^2 = 4a^2$ (Pythagoras für halbe Diagonalen)

Flächenvergleiche:
• Bei gegebenen Diagonalen hat die Raute die größte Fläche aller Parallelogramme
• Bei gegebener Seitenlänge hat das Quadrat die größte Fläche aller Rauten

Berechnungstipps

Häufige Fehlerquellen:
• Verwechslung von Diagonalen und Seitenlängen
• Falsche Winkeleinheit (Grad vs. Radiant)
• Vergessen, dass Diagonalen senkrecht stehen
• Verwechslung von spitzem und stumpfem Winkel

Kontrollmöglichkeiten:
• $e^2 + f^2 = 4a^2$ muss erfüllt sein
• $\alpha + \beta = 180°$ für benachbarte Winkel
• Fläche über verschiedene Formeln berechnen
• Geometrische Plausibilität prüfen

Optimierungsprobleme:
• Bei gegebenem Umfang hat das Quadrat die größte Fläche
• Bei gegebener Fläche hat das Quadrat den kleinsten Umfang
• Die Raute ist ein lokales Extremum in der Familie der Parallelogramme