Sehnenviereck Rechner

📊 Klassische Formeln für Sehnenvierecke:

Brahmagupta-Formel (Fläche):
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$ $$\text{wobei } s = \frac{a+b+c+d}{2} \text{ (Halbumfang)}$$
Ptolemäus-Theorem (Diagonalen):
$$p \cdot q = ac + bd$$
Einzelne Diagonalen:
$$p = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$$ $$q = \sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}$$
Umkreisradius:
$$R = \frac{1}{4A}\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}$$
Umfang:
$$U = a + b + c + d$$

🏛️ Historischer Hintergrund

Claudius Ptolemäus (ca. 100-170 n. Chr.):
Griechischer Mathematiker, Astronom und Geograph in Alexandria.

Das Ptolemäus-Theorem:
In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten: $$p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$$
Umkehrung:
Wenn für ein Viereck $p \cdot q = ac + bd$ gilt, dann ist es ein Sehnenviereck.
Anwendung in der Astronomie:
• Trigonometrische Tafeln und Sternkarten
• Planetenbahnen und Eklipsen
• Grundlage für die "Almagest"

🕉️ Indische Mathematik

Brahmagupta (628 n. Chr.):
Indischer Mathematiker und Astronom, entdeckte die Flächenformel für Sehnenvierecke.

Die Brahmagupta-Formel:
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$ wobei $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ der Halbumfang ist.
Vergleich zur Heron-Formel:
• Heron (Dreiecke): $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• Brahmagupta (Sehnenvierecke): Verallgemeinerung auf 4 Seiten
• Bei Dreieck wird eine "Seite" zu Null

Wichtige Bedingung:
Die Formel gilt nur für Sehnenvierecke! Für allgemeine Vierecke muss die Bretschneider-Formel verwendet werden.

📝 Beispielrechnung: Sehnenviereck

Gegeben: Seiten a = 7 cm, b = 5 cm, c = 6 cm, d = 8 cm

Halbumfang berechnen:
$s = \frac{7 + 5 + 6 + 8}{2} = \frac{26}{2} = 13$ cm

Fläche mit Brahmagupta-Formel:
$A = \sqrt{(13-7)(13-5)(13-6)(13-8)}$
$A = \sqrt{6 \times 8 \times 7 \times 5} = \sqrt{1680} \approx 40{,}99$ cm²

Diagonalen mit Ptolemäus-Formeln:
$p = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}} = \sqrt{\frac{(35+48)(42+40)}{56+30}} = \sqrt{\frac{83 \times 82}{86}} \approx 8{,}90$ cm
$q = \sqrt{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}} = \sqrt{\frac{(56+30)(42+40)}{35+48}} = \sqrt{\frac{86 \times 82}{83}} \approx 9{,}22$ cm

Ptolemäus-Theorem prüfen:
$p \times q = 8{,}90 \times 9{,}22 \approx 82{,}06$
$ac + bd = 7 \times 6 + 5 \times 8 = 42 + 40 = 82$ (Rundungsfehler)

Umkreisradius berechnen:
$R = \frac{1}{4 \times 40{,}99}\sqrt{(35+48)(42+40)(56+30)} \approx 4{,}67$ cm

🔍 Wie erkennt man ein Sehnenviereck?

Winkelkriterium:
• Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°
• $\alpha + \gamma = 180°$ und $\beta + \delta = 180°$

Ptolemäus-Kriterium:
• Das Produkt der Diagonalen entspricht der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten
• $p \cdot q = ac + bd$

Existenzbedingungen:
• Jede Seite ist kleiner als die Summe der anderen drei
• $a < b + c + d$, $b < a + c + d$, etc.
• $(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) > 0$ (für reelle Fläche)

Konstruktions-Kriterium:
Bei gegebenen vier Seitenlängen ist die Form eindeutig bestimmt (bis auf Spiegelung).