Quadrat Rechner

Das Quadrat

Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind und alle vier Winkel rechte Winkel (90°) betragen. Es ist die regelmäßigste Form unter den Vierecken und hat besondere mathematische Eigenschaften.

Eigenschaften:

• Alle Seiten gleich lang: $a = b = c = d$
• Alle Winkel gleich: $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 90°$
• Vier Symmetrieachsen: zwei Mittellinien und zwei Diagonalen
• Punktsymmetrie: zum Mittelpunkt
• Diagonalen: gleich lang, halbieren sich rechtwinklig

Formeln für das Quadrat

Alle Berechnungen basieren auf der Seitenlänge $a$:

Diagonale:
$$d = a \cdot \sqrt{2}$$
Fläche:
$$A = a^2 = \frac{d^2}{2}$$
Umfang:
$$U = 4 \cdot a$$
Inkreisradius (Radius des eingeschriebenen Kreises):
$$r = \frac{a}{2}$$
Umkreisradius (Radius des umschreibenden Kreises):
$$R = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{d}{2}$$

Rückrechnungsformeln

Seitenlänge aus anderen Werten:
• Aus Diagonale: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$
• Aus Fläche: $a = \sqrt{A}$
• Aus Umfang: $a = \frac{U}{4}$
• Aus Inkreisradius: $a = 2r$
• Aus Umkreisradius: $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$

Diagonale aus anderen Werten:
• Aus Seitenlänge: $d = a\sqrt{2}$
• Aus Fläche: $d = \sqrt{2A}$
• Aus Umfang: $d = \frac{U\sqrt{2}}{4}$
• Aus Umkreisradius: $d = 2R$

Fläche aus anderen Werten:
• Aus Seitenlänge: $A = a^2$
• Aus Diagonale: $A = \frac{d^2}{2}$
• Aus Umfang: $A = \frac{U^2}{16}$
• Aus Inkreisradius: $A = 4r^2$
• Aus Umkreisradius: $A = 2R^2$

Beispielrechnung

Gegeben: Seitenlänge $a = 5$ cm

Diagonale berechnen:
$d = a \times \sqrt{2} = 5 \times 1{,}414 \approx 7{,}07$ cm

Fläche berechnen:
$A = a^2 = 5^2 = 25$ cm²

Umfang berechnen:
$U = 4 \times a = 4 \times 5 = 20$ cm

Inkreisradius berechnen:
$r = \frac{a}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$ cm

Umkreisradius berechnen:
$R = \frac{a \times \sqrt{2}}{2} = \frac{5 \times 1{,}414}{2} \approx 3{,}54$ cm

Besondere Eigenschaften

Symmetrie:

• Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen
• Es ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt
• Drehsymmetrie: 4-zählig (90°, 180°, 270°)
• Mittelpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt fallen zusammen

Verhältnisse:

• Umkreisradius : Inkreisradius = $\sqrt{2} : 1$
• Diagonale : Seitenlänge = $\sqrt{2} : 1$
• Das Quadrat hat das größte Flächen-zu-Umfang-Verhältnis unter allen Rechtecken

Spezielle Berechnungen

Verhältnis zum eingeschriebenen Kreis:
• Fläche Quadrat : Fläche Inkreis = $4 : \pi \approx 1{,}273$
• Umfang Quadrat : Umfang Inkreis = $4 : \pi \approx 1{,}273$

Verhältnis zum umschreibenden Kreis:
• Fläche Umkreis : Fläche Quadrat = $\pi : 2 \approx 1{,}571$
• Die Eckpunkte des Quadrats liegen auf dem Umkreis

Diagonalen:
• Die Diagonalen sind gleich lang: $d_1 = d_2 = a\sqrt{2}$
• Sie halbieren sich rechtwinklig im Mittelpunkt
• Sie teilen das Quadrat in 4 kongruente rechtwinklige Dreiecke

Praktische Anwendungen

Quadrate finden sich in vielen Bereichen:

• Architektur: Grundrisse, Fenster, Kacheln, Plätze
• Technik: Schraubenköpfe, Flansche, Profile
• Kunst: Bildformate, Muster, Ornamente
• Mathematik: Koordinatensysteme, Gitter, Matrizen
• Informatik: Pixel, QR-Codes, Schachbrett
• Alltag: Post-its, Fliesen, Spielfelder

Verwandte Formen

Rechteck:
Das Quadrat ist ein spezielles Rechteck mit gleichen Seitenlängen.

Rhombus:
Das Quadrat ist ein spezieller Rhombus mit rechten Winkeln.

Parallelogramm:
Das Quadrat ist ein spezielles Parallelogramm mit gleichen Seiten und rechten Winkeln.

Regelmäßiges Vieleck:
Das Quadrat ist das regelmäßige 4-Eck (Tetragon).

Historisches und Kulturelles

Mathematische Bedeutung:
• Quadratzahlen: $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...$
• Basis für das kartesische Koordinatensystem
• Wichtig in der Geometrie und Algebra

Kulturelle Bedeutung:
• Symbol für Stabilität und Ordnung
• In vielen Kulturen als perfekte Form betrachtet
• Grundlage für Stadtplanung (Stadtblöcke)
• Verwendet in Flaggen und Wappen

Geometrie Rechner 2D Runde Formen

Kreis

Dreiecke

Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)

Spezielle Vierecke

Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rechteckiger Rahmen
Konkaves Viereck Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt

Polygone

Pentagon (Fünfeck)
Hexagon (Sechseck)
Heptagon (Siebeneck)

Allgemeine Vierecke

Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)