Gleichseitiges Dreieck Rechner
Online Rechner für alle Berechnungen am gleichseitigen Dreieck
Geben Sie einen bekannten Wert ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks.
Eingabeformat
Dezimalzahlen können mit Punkt oder Komma eingegeben werden. Geben Sie nur einen Wert ein - alle anderen werden berechnet.
Dreieck-Eigenschaften
• Perfekte Symmetrie: Alle Seiten und Winkel gleich
• Drei Symmetrieachsen: Durch jede Ecke und Seitenmitte
• Inkreis & Umkreis: Gemeinsamer Mittelpunkt
Das gleichseitige Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck ist ein spezielles Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich lang sind. Es ist perfekt symmetrisch und hat besondere mathematische Eigenschaften. Alle Innenwinkel betragen genau 60°.
🔺 Perfekte Eigenschaften
- • Alle Seiten gleich: a = b = c
- • Alle Winkel gleich: α = β = γ = 60°
- • Drei Symmetrieachsen: Durch jede Ecke
- • Gemeinsamer Mittelpunkt: Für alle Kreise
📐 Formeln mit √3
- • Höhe: h = a × √3 / 2
- • Fläche: A = a² × √3 / 4
- • Inkreis: r = a × √3 / 6
- • Umkreis: R = a × √3 / 3
Eigenschaften:
- Alle Seiten gleich lang: $a = b = c$
- Alle Winkel gleich: $\alpha = \beta = \gamma = 60°$
- Drei Symmetrieachsen: durch jede Ecke und Seitenmitte
- Inkreis und Umkreis: haben gemeinsamen Mittelpunkt
Formeln für das gleichseitige Dreieck
🔺 Gleichseitiges Dreieck Formeln:
Alle Berechnungen basieren auf der Seitenlänge $a$:
Höhe:$$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$$
Fläche:
$$A = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}$$
Umfang:
$$U = 3 \cdot a$$
Inkreisradius:
$$r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$$
Umkreisradius:
$$R = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2h}{3}$$
Beispielrechnung
📝 Beispiel mit Seitenlänge a = 6 cm:
Höhe berechnen:
$h = \frac{6 \times \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \times 1{,}732}{2} \approx 5{,}20$ cm
Fläche berechnen:
$A = \frac{6^2 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \times 1{,}732}{4} \approx 15{,}59$ cm²
Umfang berechnen:
$U = 3 \times 6 = 18$ cm
Inkreisradius berechnen:
$r = \frac{6 \times \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ cm
Umkreisradius berechnen:
$R = \frac{6 \times \sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ cm
Rückrechnungsformeln
🔄 Umkehrformeln:
• Aus Höhe: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
• Aus Fläche: $a = \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}}$
• Aus Umfang: $a = \frac{U}{3}$
• Aus Inkreisradius: $a = \frac{6r}{\sqrt{3}}$
• Aus Umkreisradius: $a = \frac{3R}{\sqrt{3}}$
• Verhältnis R : r = 2 : 1
Besondere Eigenschaften
Symmetrie:
- Das gleichseitige Dreieck hat 3 Symmetrieachsen
- Es ist punktsymmetrisch zum Schwerpunkt
- Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt fallen zusammen
- Umkreisradius : Inkreisradius = $2 : 1$
- Höhe : Inkreisradius = $3 : 1$
- Das Verhältnis von Fläche zu Umfang² ist maximal unter allen Dreiecken
Praktische Anwendungen
🏗️ Architektur & Bau
- • Geodätische Kuppeln
- • Dachkonstruktionen
- • Wabenstrukturen
- • Fachwerke und Verstrebungen
🔬 Natur & Wissenschaft
- • Kristallographie und Mineralien
- • Bienenwaben und Schneeflocken
- • Design und Ornamente
- • Hexagonale Strukturen
Gleichseitige Dreiecke finden sich in vielen Bereichen:
- Architektur: Geodätische Kuppeln, Dachkonstruktionen
- Technik: Wabenstrukturen, Fachwerke
- Kristallographie: Hexagonale Kristallstrukturen
- Design: Logos, Muster, Ornamente
- Natur: Bienenwaben, Schneeflocken
🌟 Gleichseitiges Dreieck - Perfekte Harmonie:
- Maximale Symmetrie: Drei Symmetrieachsen und Punktsymmetrie
- Einfachste Berechnung: Nur ein Wert erforderlich
- Universelle Konstanten: Alle Winkel = 60°, √3 in allen Formeln
- Natürliche Perfektion: Häufig in Natur und Technik
- Optimale Eigenschaften: Maximales Fläche-zu-Umfang-Verhältnis
KreisDreiecke
DreieckSpezielle Vierecke
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)
QuadratPolygone
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rahmen (rechteckig)
Konkaves Viereck
Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt
N-Eck (Universal)Allgemeine Vierecke
Vieleckring
Pentagon (Fünfeck)
Hexagon (Sechseck)
Konkaves Hexagon
Heptagon (Siebeneck)
Oktagon (Achteck)
Nonagon (Neuneck)
Dekagon (Zehneck)
Hendekagon (Elfeck)
Dodekagon (Zwölfeck)
Hexadekagon (16-eck)
Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)