Allgemeines Viereck Rechner

📊 Grundlegende Berechnungsformeln:

Diagonale e (Kosinussatz):
$$e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\beta)}$$
Diagonale f (Kosinussatz):
$$f = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\gamma)}$$
Seite d (über Zwischenwinkel):
$$d = \sqrt{c^2 + e^2 - 2ce \cdot \cos(\gamma_2)}$$ $$\gamma_2 = \gamma - \gamma_1, \quad \gamma_1 = \arccos\left(\frac{b^2 + e^2 - a^2}{2be}\right)$$
Winkel α (Kosinussatz):
$$\alpha = \arccos\left(\frac{a^2 + d^2 - f^2}{2ad}\right)$$
Winkel δ (Winkelsumme):
$$\delta = 360° - \alpha - \beta - \gamma$$
Umfang:
$$U = a + b + c + d$$

🔺 Bretschneider-Formel (Allgemein)

Für beliebige Vierecke mit Seiten a, b, c, d und Diagonalen e, f:
$$A = \frac{\sqrt{4e^2f^2 - (b^2 + d^2 - a^2 - c^2)^2}}{4}$$
Alternative Form mit Winkeln:
$$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}$$ wobei $s = \frac{a+b+c+d}{2}$ der Halbumfang ist.

Spezialfälle:
• Bei Sehnenvierecken: $\alpha + \gamma = 180°$ → Brahmagupta-Formel
• Bei Tangentenvierecken: Spezielle Vereinfachungen möglich
• Bei Rechtecken: $A = ab$ (einfachste Form)

📝 Beispielrechnung: Allgemeines Viereck

Gegeben: Seiten a = 7, b = 5, c = 6; Winkel β = 80°, γ = 70°

Diagonale e berechnen:
$e = \sqrt{7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(80°)} = \sqrt{49 + 25 - 70 \cdot 0{,}174} \approx 7{,}86$

Diagonale f berechnen:
$f = \sqrt{5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(70°)} = \sqrt{25 + 36 - 60 \cdot 0{,}342} \approx 6{,}36$

📋 Viereck-Hierarchie

Nach Konvexität:
• Konvexes Viereck: Alle Innenwinkel < 180°
• Konkaves Viereck: Ein Innenwinkel > 180°
• Selbstüberschneidendes Viereck: Seiten kreuzen sich

Nach Symmetrie:
• Drachenviereck: Zwei Paare gleicher benachbarter Seiten
• Trapezoid: Keine parallelen Seiten
• Trapez: Ein Paar parallele Seiten
• Parallelogramm: Zwei Paare parallele Seiten

Nach Umkreis:
• Zyklisches Viereck: Alle Eckpunkte auf einem Kreis
• Tangentenviereck: Alle Seiten tangential zu einem Kreis
• Bizyklisches Viereck: Sowohl zyklisch als auch tangential

Spezialfälle:
• Rechteck: Parallelogramm mit rechten Winkeln
• Raute: Parallelogramm mit gleichen Seiten
• Quadrat: Rechteck mit gleichen Seiten