Vieleckring Rechner

📊 Alle Berechnungen basieren auf äußerer (a) und innerer (b) Seitenlänge:

Ring-Fläche:
$$A_{Ring} = \frac{n}{4} \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \times (a^2 - b^2)$$
Gesamt-Umfang:
$$U_{gesamt} = n \times (a + b)$$
Dicke an Ecken:
$$c = \frac{a - b}{2 \sin(\pi/n)}$$
Dicke an Seiten:
$$d = \frac{a - b}{2 \tan(\pi/n)}$$
Verhältnis der Dicken:
$$\frac{c}{d} = \frac{1}{\sin(\pi/n) \cdot \tan(\pi/n)} = \frac{1}{\sin^2(\pi/n)} \cdot \cos(\pi/n)$$

📝 Beispielrechnung: Oktagon-Ring

Gegeben: n = 8, äußere Seitenlänge a = 5 cm, innere Seitenlänge b = 3 cm

Ring-Fläche berechnen:
$A = \frac{8}{4} \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \times (25 - 9) = 2 \times 2{,}414 \times 16 \approx 77{,}25$ cm²

Gesamt-Umfang berechnen:
$U = 8 \times (5 + 3) = 8 \times 8 = 64$ cm

Dicke an Ecken berechnen:
$c = \frac{5 - 3}{2 \sin(\pi/8)} = \frac{2}{2 \times 0{,}383} \approx 2{,}61$ cm

Dicke an Seiten berechnen:
$d = \frac{5 - 3}{2 \tan(\pi/8)} = \frac{2}{2 \times 0{,}414} \approx 2{,}41$ cm

Verhältnis prüfen:
$\frac{c}{d} = \frac{2{,}61}{2{,}41} \approx 1{,}08$ (c > d ✓)

🔄 Umkehrformeln für verschiedene Eingabeparameter

Aus Ring-Fläche und äußerer Seitenlänge:
$$b = \sqrt{a^2 - \frac{4A \tan(\pi/n)}{n}}$$
Aus Ring-Fläche und innerer Seitenlänge:
$$a = \sqrt{b^2 + \frac{4A \tan(\pi/n)}{n}}$$
Aus Dicke an Ecken:
$$a = b + 2c \sin(\pi/n)$$
Aus Dicke an Seiten:
$$a = b + 2d \tan(\pi/n)$$

🔍 Mathematische Grenzfälle

Grenzfall n → ∞ (Kreisring):
$$\lim_{n \to \infty} A_{Ring} = \pi \left(\frac{a}{2\sin(\pi/n)}\right)^2 - \pi \left(\frac{b}{2\sin(\pi/n)}\right)^2$$ $$= \pi(R_a^2 - R_i^2) \text{ mit } R_a,R_i \text{ als Kreisradien}$$
Dreieck-Ring (n = 3):
$$A = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 - b^2), \quad c = \frac{a-b}{2\sin(60°)} = \frac{a-b}{\sqrt{3}}$$
Quadrat-Ring (n = 4):
$$A = a^2 - b^2, \quad c = d = \frac{a-b}{\sqrt{2}}$$