Rechtwinkliges Dreieck Rechner

Online Rechner für alle Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck


Eingabe (mindestens 2 Werte):
Kathete $a$
Kathete $b$
Hypotenuse $c$
Höhe zur Hypotenuse ($h$)
Fläche ($A$)
Inkreisradius ($r$)
Umkreisradius ($R$)
Winkel $\alpha$ (Grad)
Winkel $\beta$ (Grad)
Dezimalstellen
Kathete $a$
Kathete $b$
Hypotenuse $c$
Höhe Hypotenuse ($h$)
Fläche ($A$)
Umfang ($U$)
Inkreisradius ($r$)
Umkreisradius ($R$)
Winkel $\alpha$ (Grad)
Winkel $\beta$ (Grad)
Winkel $\gamma$ (90°) 90

Geben Sie mindestens zwei bekannte Werte ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks.

Eingaberegeln

• Mindestens zwei Werte erforderlich
• Winkel in Grad eingeben (0° < $\alpha$,$\beta$ < 90°)
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
• Ein Winkel ist immer 90° (rechter Winkel)

rechtwinkliges Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel (90°). Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse - sie ist immer die längste Seite.


rechtwinkliges Dreieck

Eigenschaften:

  • Ein rechter Winkel: $\gamma = 90°$
  • Zwei spitze Winkel: $\alpha + \beta = 90°$
  • Pythagoras gilt: $a^2 + b^2 = c^2$
  • Hypotenuse: Längste Seite ($c$)
  • Höhe zur Hypotenuse: Teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte
  • Umkreismittelpunkt: Liegt auf der Hypotenuse


Formeln für das rechtwinklige Dreieck

Bezeichnungen: $a$, $b$ = Katheten, $c$ = Hypotenuse, $h$ = Höhe zur Hypotenuse, $\alpha$, $\beta$ = spitze Winkel, $\gamma = 90°$

Satz des Pythagoras:
$$a^2 + b^2 = c^2$$
Winkelsumme:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180° \quad \text{bzw.} \quad \alpha + \beta = 90°$$
Fläche:
$$A = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{c \cdot h}{2}$$
Umfang:
$$U = a + b + c$$
Höhe zur Hypotenuse:
$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$
Inkreisradius:
$$r = \frac{a + b - c}{2}$$
Umkreisradius:
$$R = \frac{c}{2}$$
Trigonometrische Beziehungen:
$$\sin \alpha = \frac{a}{c} \quad \cos \alpha = \frac{b}{c} \quad \tan \alpha = \frac{a}{b}$$ $$\sin \beta = \frac{b}{c} \quad \cos \beta = \frac{a}{c} \quad \tan \beta = \frac{b}{a}$$


Beispielrechnung

Gegeben: Kathete $a = 3$ cm, Kathete $b = 4$ cm

Hypotenuse berechnen (Pythagoras):
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ cm

Höhe zur Hypotenuse berechnen:
$h = \frac{a \times b}{c} = \frac{3 \times 4}{5} = 2{,}4$ cm

Fläche berechnen:
$A = \frac{a \times b}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6$ cm²
oder: $A = \frac{c \times h}{2} = \frac{5 \times 2{,}4}{2} = 6$ cm²

Umfang berechnen:
$U = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$ cm

Inkreisradius berechnen:
$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$ cm

Umkreisradius berechnen:
$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$ cm

Winkel $\alpha$ berechnen:
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} = 0{,}75$
$\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87°$

Winkel $\beta$ berechnen:
$\beta = 90° - \alpha = 90° - 36{,}87° = 53{,}13°$

Rückrechnungsformeln

Aus Pythagoras:
• $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• $b = \sqrt{c^2 - a^2}$
• $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Aus Höhe zur Hypotenuse:
• Aus $h$ und $c$: $A = \frac{c \times h}{2}$
• Aus $h$, $a$, $b$: $c = \frac{a \times b}{h}$
• Mit weiteren Beziehungen: alle Seiten berechenbar

Aus Trigonometrie:
• $a = c \times \sin(\alpha) = b \times \tan(\alpha)$
• $b = c \times \cos(\alpha) = \frac{a}{\tan(\alpha)}$
• $c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\cos(\alpha)}$

Aus Fläche:
• Wenn $A$ und $a$ bekannt: $b = \frac{2A}{a}$
• Wenn $A$ und $b$ bekannt: $a = \frac{2A}{b}$
• Wenn $A$ und $c$ bekannt: $h = \frac{2A}{c}$

Aus Inkreisradius:
• $c = a + b - 2r$
• Mit Pythagoras: weitere Seiten berechenbar

Aus Umkreisradius:
• $c = 2R$ (Hypotenuse ist Durchmesser des Umkreises)
• Mit weiteren Werten: Katheten berechenbar

Besondere Eigenschaften der Höhe

Höhe zur Hypotenuse:

  • Die Höhe zur Hypotenuse teilt das Dreieck in zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke
  • Diese kleineren Dreiecke sind dem ursprünglichen Dreieck ähnlich
  • Geometrischer Mittelwert: $h^2 = p \times q$ ($p$, $q$ = Hypotenusenabschnitte)
  • Kathetensatz: $a^2 = p \times c$ und $b^2 = q \times c$
Drei Höhen im rechtwinkligen Dreieck:
  • Höhe zur Hypotenuse: $h = \frac{a \times b}{c}$
  • Höhe zur Kathete $a$: $h_a = b$ (die andere Kathete)
  • Höhe zur Kathete $b$: $h_b = a$ (die andere Kathete)

Besondere Eigenschaften von Inkreis und Umkreis

Inkreis:

  • Der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks
  • Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
  • Besondere Formel für rechtwinklige Dreiecke: $r = \frac{a + b - c}{2}$
  • Kann auch berechnet werden als: $r = \frac{A}{s}$ ($A$ = Fläche, $s$ = Halbumfang)
Umkreis:
  • Der Umkreis geht durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks
  • Mittelpunkt liegt genau in der Mitte der Hypotenuse
  • Umkreisradius ist immer die Hälfte der Hypotenuse: $R = \frac{c}{2}$
  • Dies ist eine besondere Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke (Satz des Thales)

Besondere rechtwinklige Dreiecke

45°-45°-90° Dreieck (gleichschenklig-rechtwinklig):

  • Katheten gleich lang: $a = b$
  • Hypotenuse: $c = a\sqrt{2}$
  • Höhe zur Hypotenuse: $h = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{c}{2}$
  • Beide spitze Winkel = 45°
  • Inkreisradius: $r = \frac{a(\sqrt{2} - 1)}{2}$
  • Umkreisradius: $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
30°-60°-90° Dreieck:
  • Seitenverhältnis $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$
  • Höhe zur Hypotenuse: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
  • Häufig in der Trigonometrie verwendet
  • Entsteht durch Halbierung eines gleichseitigen Dreiecks
  • Inkreisradius: $r = \frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}$ (wenn $a$ die kürzere Kathete ist)
3-4-5 Dreieck (Pythagoräisches Tripel):
  • Ganzzahlige Seitenlängen: 3, 4, 5
  • $3^2 + 4^2 = 5^2 \rightarrow 9 + 16 = 25$ ✓
  • Höhe zur Hypotenuse: $h = \frac{3 \times 4}{5} = 2{,}4$
  • Praktisch in der Vermessung
  • Inkreisradius: $r = 1$, Umkreisradius: $R = 2{,}5$

Praktische Anwendungen

Rechtwinklige Dreiecke mit Höhenberechnung sind wichtig für:

  • Baugewerbe: Dachschrägen, Treppen, Rampen
  • Navigation: Höhenmessung, Entfernungsbestimmung
  • Technik: Maschinenbau, Konstruktion
  • Optik: Strahlengänge, Prismenberechnungen
  • Astronomie: Höhenwinkel, Parallaxenmessung
  • Vermessung: Triangulation, Höhenbestimmung

Pythagoräische Tripel mit Höhen

Bekannte ganzzahlige Kombinationen mit Höhen zur Hypotenuse:

  • (3, 4, 5): $h = 2{,}4$, $r = 1$, $R = 2{,}5$
  • (5, 12, 13): $h \approx 4{,}62$, $r = 2$, $R = 6{,}5$
  • (8, 15, 17): $h \approx 7{,}06$, $r = 3$, $R = 8{,}5$
  • (7, 24, 25): $h = 6{,}72$, $r = 4$, $R = 12{,}5$
  • (20, 21, 29): $h \approx 14{,}48$, $r = 6$, $R = 14{,}5$
Diese sind besonders nützlich für praktische Anwendungen ohne Taschenrechner.

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