Überschlagenes Viereck Rechner

📊 Spezielle Formeln für überschlagene Vierecke:

Umfang (unverändert durch Überschneidung):
$$U = a + b + c + d$$
Shoelace-Formel (mit Vorzeichen):
$$A_{gesamt} = \frac{1}{2}|x_A(y_B-y_D) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_D-y_B) + x_D(y_A-y_C)|$$
Überlappfläche:
$$A_{überlapp} = \frac{1}{2} \cdot |p_1 \times q_1| \cdot \sin(\alpha)$$ wobei $\alpha$ der Kreuzungswinkel der Diagonalen ist
Nettofläche (korrigierte Fläche):
$$A_{netto} = A_{gesamt} - A_{überlapp}$$ (Fläche ohne doppelt gezählte Bereiche)
Kreuzungswinkel:
$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|}$$

❌ Schnittpunkt-Berechnung

Schnittpunkt der Seiten:
Bei einem überschlagenen Viereck schneiden sich zwei nicht benachbarte Seiten. Der Schnittpunkt kann durch Lösung des Gleichungssystems berechnet werden: $$\text{Seite 1: } \vec{r}_1 = \vec{A} + t_1(\vec{B} - \vec{A})$$ $$\text{Seite 2: } \vec{r}_2 = \vec{C} + t_2(\vec{D} - \vec{C})$$
Teilungsverhältnis:
Der Schnittpunkt teilt die Seiten im Verhältnis: $$t_1 = \frac{|\vec{A} \rightarrow \text{Schnittpunkt}|}{|\vec{AB}|}$$ $$t_2 = \frac{|\vec{C} \rightarrow \text{Schnittpunkt}|}{|\vec{CD}|}$$
Existenzbedingung:
Ein Schnittpunkt existiert, wenn $0 < t_1 < 1$ und $0 < t_2 < 1$

🔺 Herausforderung der Flächenberechnung

Problem:
Bei überschlagenen Vierecken führt die Standard-Shoelace-Formel zu komplexen Ergebnissen, da der Überlappbereich doppelt gezählt wird.

Methode 1 - Zerlegung in Dreiecke:
Das überschlagene Viereck wird in vier Dreiecke zerlegt:

• Dreieck AXB (X = Schnittpunkt)
• Dreieck BXC
• Dreieck CXD
• Dreieck DXA

$$A_{gesamt} = |A_{\triangle AXB}| + |A_{\triangle BXC}| + |A_{\triangle CXD}| + |A_{\triangle DXA}|$$
Methode 2 - Überlappkorrektur:
1. Berechne Gesamtfläche mit Shoelace-Formel
2. Identifiziere Überlappbereich
3. Subtrahiere Überlappfläche vom Gesamtergebnis

📝 Beispielrechnung: Bow-Tie Viereck

Gegeben: Koordinaten A(0,0), B(4,2), C(2,4), D(3,1) - bilden überschlagenes Viereck

Seitenlängen berechnen:
$a = |\vec{AB}| = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$
$b = |\vec{BC}| = \sqrt{(2-4)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$
$c = |\vec{CD}| = \sqrt{(3-2)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$
$d = |\vec{DA}| = \sqrt{(0-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{10} \approx 3{,}16$

Umfang:
$U = 4{,}47 + 2{,}83 + 3{,}16 + 3{,}16 = 13{,}62$

Shoelace-Formel:
$A = \frac{1}{2}|0(2-1) + 4(4-0) + 2(1-2) + 3(0-4)|$
$A = \frac{1}{2}|0 + 16 - 2 - 12| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Schnittpunkt der Seiten AC und BD:
Lösung des Gleichungssystems ergibt Schnittpunkt bei (1{,}5, 2{,}25)

Überlappfläche:
Bereich, der durch die Kreuzung entsteht: $A_{überlapp} \approx 0{,}5$

Nettofläche:
$A_{netto} = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$ (tatsächlich "gefüllte" Fläche)

🔍 Automatische Erkennung überschlagener Vierecke

Erkennungsmerkmale:
Ein Viereck ist überschlagen, wenn:

• Die Shoelace-Formel ein unerwartetes Vorzeichen liefert
• Zwei nicht benachbarte Seiten sich schneiden
• Die Eckpunkte nicht in konvexer Reihenfolge angeordnet sind
• Mindestens ein Innenwinkel > 180° bei normaler Betrachtung

Schnitttests:
Für jedes Seitenpaar (a,c) und (b,d) prüfen: $$t_1 = \frac{(x_C - x_A)(y_A - y_B) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)}{(x_D - x_C)(y_A - y_B) - (x_A - x_B)(y_D - y_C)}$$ Ein Schnittpunkt existiert, wenn $0 < t_1 < 1$ und $0 < t_2 < 1$

Orientierungstest:
Die Orientierung der Eckpunkte kann durch das Vorzeichen der Shoelace-Formel bestimmt werden:

• Positiv: Gegen den Uhrzeigersinn (konvex)
• Negativ: Im Uhrzeigersinn oder überschlagen

⚙️ Schnittpunkt-Algorithmus

Für zwei Liniensegmente AB und CD:

function lineIntersection(A, B, C, D):
    denom = (A.x - B.x) * (C.y - D.y) - (A.y - B.y) * (C.x - D.x)
    if (denom == 0) return null  // parallel
    
    t = ((A.x - C.x) * (C.y - D.y) - (A.y - C.y) * (C.x - D.x)) / denom
    u = -((A.x - B.x) * (A.y - C.y) - (A.y - B.y) * (A.x - C.x)) / denom
    
    if (t >= 0 && t <= 1 && u >= 0 && u <= 1):
        return Point(A.x + t * (B.x - A.x), A.y + t * (B.y - A.y))
    return null
                                

Flächenberechnung mit Vorzeichen:
Die erweiterte Shoelace-Formel berücksichtigt Orientierung: $$A_{signed} = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)$$
Numerische Stabilität:
• Verwendung von Epsilon-Werten für Gleitkommavergleiche
• Robuste Orientierungstests
• Behandlung degenerierter Fälle
• Vermeidung von Division durch Null

🎮 Polygon-Triangulation und Rendering

Triangulationsalgorithmen für überschlagene Vierecke:

• Ear-Clipping: Funktioniert nicht direkt bei Selbstüberschneidung
• Constrained Delaunay: Berücksichtigt vorgegebene Kanten
• Monotone Zerlegung: Aufteilen in monotone Polygonstücke
• Sweep-Line: Scanline-basierte Verfahren

Rendering-Herausforderungen:
• Z-Fighting bei überlappenden Bereichen
• Transparenz und Alpha-Blending
• Schatten-Berechnungen
• Anti-Aliasing an Kreuzungspunkten

Fill-Rules (Füllregeln):
Verschiedene Füllregeln führen zu unterschiedlichen Ergebnissen:

• Even-Odd: Abwechselnde Füllung
• Non-Zero-Winding: Windungsrichtung berücksichtigen
• Positive: Nur positive Windungen
• Negative: Nur negative Windungen

Boolean-Operationen:
Überschlagene Polygone in Boolean-Operationen: $$A \cup B, \quad A \cap B, \quad A \setminus B, \quad A \triangle B$$ Erfordern robuste Algorithmen für Sonderfälle

🔬 Aktuelle Forschungsgebiete

Höherdimensionale Verallgemeinerungen:
• Selbstschneidende Körper im 3D-Raum
• Hyperflächen in höheren Dimensionen
• Algebraische Geometrie und Varietäten
• Topologische Invarianten

Anwendungen in der Zahlentheorie:
• Modular-Formen und Selbstüberschneidungen
• Geometrische Zahlentheorie
• Diophantische Geometrie
• Kryptographische Anwendungen

Computermathematik:
• Symbolische Berechnungen mit CAS
• Automatisierte Geometrie-Beweise
• Machine Learning für Polygon-Erkennung
• Quantenalgorithmen für geometrische Probleme

Industrielle Anwendungen:
• Additive Fertigung (3D-Druck)
• Materialwissenschaft: Bruchverhalten
• Biomechanik: Gewebeverformung
• Strömungsmechanik: Turbulente Verwirbelungen