Dreigleichseitiges Trapez Rechner

Das dreigleichseitige Trapez - Trapez mit drei gleichen Seiten

Ein dreigleichseitiges Trapez ist eine sehr spezielle Form des Trapezes, bei dem drei der vier Seiten gleich lang sind: die obere Basis c und beide Schenkel b und d haben dieselbe Länge. Dies ist ein äußerst seltener und mathematisch interessanter Fall.

Charakteristische Eigenschaften

Dreigleichseitige Merkmale:

• Drei gleiche Seiten: b = c = d (nur Basis a ist anders)
• Gleichschenklig: Automatisch symmetrisch wegen b = d
• Gleiche Basiswinkel: α = β (wegen Symmetrie)
• Gleiche obere Winkel: γ = δ (wegen Symmetrie)
• Gleiche Diagonalen: p = q (wegen Symmetrie)
• Umkreis: Existiert als Sehnenviereck

Grundlegende Formeln

Constraint (Bedingung):
$$b = c = d \quad \text{und} \quad a > b$$
Höhenberechnung:
$$h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$ Da c = b, vereinfacht sich die Formel.
Winkelberechnung:
$$\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{h}{b}\right)$$ $$\gamma = \delta = 180° - \alpha$$
Flächenberechnung:
$$A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$
Umfang:
$$U = a + 3b$$ Besonders einfach wegen der drei gleichen Seiten.
Diagonalen:
$$p = q = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a+b}{2}\right)^2}$$
Umkreisradius (spezielle Formel):
$$R = b \cdot \sqrt{\frac{b(a + b)}{4b^2 - (a - b)^2}}$$ Diese Formel ist speziell für dreigleichseitige Trapeze optimiert.

Geometrische Analyse

Existenzbedingungen:
Für ein gültiges dreigleichseitiges Trapez muss gelten:

1. Grundbedingung:
$$a > b > 0$$ Die untere Basis muss größer als die gleichen Seiten sein.
2. Geometrische Machbarkeit:
$$b > \frac{a-b}{2}$$ Die Schenkel müssen lang genug sein, um die Höhe zu ermöglichen.
3. Vereinfacht:
$$b > \frac{a}{3}$$ Dies ist die Mindestbedingung für Existenz.
Spezielle Eigenschaften:
• Hochsymmetrisch: Sowohl achsensymmetrisch als auch punktsymmetrisch
• Sehnenviereck: Alle Eckpunkte liegen auf einem Kreis
• Besondere Winkel: α + γ = 180° (Wechselwinkel)
• Optimale Form: Maximale Symmetrie bei minimaler Parameteranzahl

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Standardfall

Gegeben: a = 12 cm, b = 5 cm

Prüfung: a > b ✓ und b > a/3 = 4 ✓

Berechnungen:

c = d = b = 5 cm

$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{12-5}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 12{,}25} = 3{,}57$ cm

$\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{3{,}57}{5}\right) = 45{,}23°$

$\gamma = \delta = 180° - 45{,}23° = 134{,}77°$

$A = \frac{(12 + 5) \times 3{,}57}{2} = 30{,}35$ cm²

$U = 12 + 3 \times 5 = 27$ cm

$R = 5 \cdot \sqrt{\frac{5(12 + 5)}{4 \cdot 25 - (12 - 5)^2}} = 5 \cdot \sqrt{\frac{85}{51}} = 6{,}46$ cm

Beispiel 2: Grenzfall

Gegeben: a = 15 cm, b = 5 cm (b = a/3)

Grenzwert-Analyse:

$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{15-5}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 25} = 0$ cm

Dies führt zu einem entarteten Trapez (Linie), daher muss b > a/3 sein.

Beispiel 3: Optimaler Fall

Gegeben: a = 10 cm, b = 6 cm

Verhältnis: b/a = 0,6 (gut proportioniert)

$h = \sqrt{6^2 - \left(\frac{10-6}{2}\right)^2} = \sqrt{36 - 4} = 5{,}66$ cm

$\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{5{,}66}{6}\right) = 70{,}53°$

$A = \frac{(10 + 6) \times 5{,}66}{2} = 45{,}28$ cm²

$U = 10 + 3 \times 6 = 28$ cm

$R = 6 \cdot \sqrt{\frac{6(10 + 6)}{4 \cdot 36 - (10 - 6)^2}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{96}{128}} = 5{,}20$ cm

Besondere mathematische Eigenschaften

Umkreis-Eigenschaften:
Als Sehnenviereck besitzt das dreigleichseitige Trapez einen Umkreis: $$R = b \cdot \sqrt{\frac{b(a + b)}{4b^2 - (a - b)^2}}$$ Diese spezielle Formel für dreigleichseitige Trapeze ist präziser als die allgemeine Sehnenviereck-Formel.

Symmetrie-Achsen:
• Hauptachse: Senkrecht zu den parallelen Seiten durch die Mitte
• Spiegelungsachse: Teilt das Trapez in zwei kongruente Hälften
• Rotationssymmetrie: 180° um den Mittelpunkt

Optimierungseigenschaften:
• Bei festem Umfang U = a + 3b hat das dreigleichseitige Trapez:
• Maximum der Fläche: Bei optimalem a/b-Verhältnis
• Minimale Parameteranzahl: Nur 2 statt 4 Parameter
• Eindeutige Lösung: Jedes (a,b)-Paar bestimmt eindeutig das Trapez

Praktische Anwendungen

Konstruktive Anwendungen:
• Architektur: Symmetrische Dachformen, Brückenbögen
• Maschinenbau: Standardisierte Profile mit drei gleichen Kanten
• Optik: Prismenformen mit besonderen Reflexionseigenschaften
• Design: Logos und geometrische Muster

Mathematische Bedeutung:
• Lehre: Beispiel für hochsymmetrische Vierecke
• Forschung: Spezialfall in der Trapez-Theorie
• Optimierung: Benchmark für Flächenmaximierung
• Geometrie: Verbindung zwischen Dreieck und Rechteck

Geometrie Rechner 2D Runde Formen

Kreis

Dreiecke

Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)

Spezielle Vierecke

Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rechteckiger Rahmen
Konkaves Viereck Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt

Polygone

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Hexagon (Sechseck)
Heptagon (Siebeneck)

Allgemeine Vierecke

Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)