Dreigleichseitiges Trapez Rechner

Online Rechner für Trapeze mit drei gleichen Seiten


🔷 Dreigleichseitiges Trapez Rechner

Drei gleiche Seiten - Maximale Symmetrie

💡 Besonderheit: Drei Seiten sind gleich lang (b = c = d)! Nur Basis a ist unterschiedlich.
Einheiten
Einheiten
ℹ️
Bedingung: Die Basis a muss größer als b/3 sein, damit ein gültiges Trapez entsteht!
⚠️ Fehler:

Geben Sie nur zwei Werte ein: die untere Basis a und die Länge b der drei gleichen Seiten. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften.

Eingaberegeln

• Basis a (untere parallele Seite)
• Seite b (obere Basis c = Schenkel d = b)
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
• a muss größer als b/3 sein

Dreigleichseitige Eigenschaften

• Drei gleiche Seiten: b = c = d
• Symmetrisch: α = β und γ = δ
• Umkreis vorhanden: als Sehnenviereck
• Gleiche Diagonalen: p = q

Dreigleichseitiges Trapez mit Bezeichnungen


Das dreigleichseitige Trapez - Trapez mit drei gleichen Seiten

Ein dreigleichseitiges Trapez ist eine sehr spezielle Form des Trapezes, bei dem drei der vier Seiten gleich lang sind: die obere Basis c und beide Schenkel b und d haben dieselbe Länge. Dies ist ein äußerst seltener und mathematisch interessanter Fall.

🔷 Dreigleichseitige Merkmale
  • • Drei gleiche Seiten: b = c = d
  • • Gleichschenklig: Automatisch symmetrisch
  • • Gleiche Basiswinkel: α = β
  • • Gleiche obere Winkel: γ = δ
🔵 Besondere Eigenschaften
  • • Gleiche Diagonalen: p = q
  • • Umkreis existiert: Sehnenviereck
  • • Maximale Symmetrie: Zwei Achsen
  • • Nur 2 Parameter: a und b

Grundlegende Formeln

📊 Formeln für das dreigleichseitige Trapez:

Bedingung:
$$b = c = d \quad \text{und} \quad a > \frac{b}{3}$$
Höhenberechnung:
$$h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2}$$
Winkelberechnung:
$$\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{h}{b}\right), \quad \gamma = \delta = 180° - \alpha$$
Flächenberechnung:
$$A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$$
Umfang (besonders einfach):
$$U = a + 3b$$
Umkreisradius (speziell):
$$R = b \cdot \sqrt{\frac{b(a + b)}{4b^2 - (a - b)^2}}$$

Praktisches Berechnungsbeispiel

📝 Beispielrechnung: a = 12 cm, b = 5 cm

Prüfung der Bedingung:
$a > \frac{b}{3} \Rightarrow 12 > \frac{5}{3} = 1{,}67$ ✓

Drei gleiche Seiten:
$c = d = b = 5$ cm

Höhe berechnen:
$h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{12-5}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 12{,}25} = 3{,}57$ cm

Winkel berechnen:
$\alpha = \beta = \arcsin\left(\frac{3{,}57}{5}\right) = 45{,}23°$
$\gamma = \delta = 180° - 45{,}23° = 134{,}77°$

Fläche:
$A = \frac{(12 + 5) \times 3{,}57}{2} = 30{,}35$ cm²

Umfang (einfach):
$U = 12 + 3 \times 5 = 27$ cm

Diagonalen (gleich):
$p = q = \sqrt{3{,}57^2 + 8{,}5^2} = 9{,}22$ cm

Umkreisradius:
$R = 5 \cdot \sqrt{\frac{5 \times 17}{4 \times 25 - 49}} = 6{,}46$ cm

Geometrische Analyse und Bedingungen

📏 Existenzbedingungen
  • • Grundbedingung: a > b > 0
  • • Geometrische Machbarkeit: b > (a-b)/2
  • • Vereinfacht: a > b/3
  • • Grenzfall: Bei a = b/3 wird h = 0
🎯 Optimierungseigenschaften
  • • Minimale Parameter: Nur 2 statt 4
  • • Eindeutige Lösung: (a,b) → alle Werte
  • • Maximale Symmetrie: Zwei Achsen
  • • Sehnenviereck: Umkreis existiert

Praktische Anwendungen

🏗️ Konstruktive Anwendungen
  • • Symmetrische Dachformen
  • • Standardisierte Profile
  • • Optische Prismen
  • • Geometrische Designs
🔬 Mathematische Bedeutung
  • • Spezialfall der Trapez-Theorie
  • • Verbindung Dreieck-Rechteck
  • • Optimierungsbeispiel
  • • Hochsymmetrische Formen
🌟 Das dreigleichseitige Trapez - Geometrische Rarität:
  • Einzigartige Eigenschaft: Drei von vier Seiten sind identisch
  • Maximale Symmetrie: Sowohl achsen- als auch punktsymmetrisch
  • Minimale Komplexität: Nur zwei Parameter bestimmen alles
  • Sehnenviereck: Umkreis existiert mit spezieller Formel
  • Praktische Relevanz: Ideal für standardisierte symmetrische Konstruktionen
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