Pentagon Rechner
Online Rechner für regelmäßige Fünfecke
Geben Sie einen bekannten Wert ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften des regelmäßigen Fünfecks (Pentagon).
Eingabeformat
Dezimalzahlen können mit Punkt oder Komma eingegeben werden. Geben Sie nur einen Wert ein - alle anderen werden berechnet.
Das Pentagon (Regelmäßiges Fünfeck)
Ein Pentagon ist ein regelmäßiges Fünfeck mit fünf gleichen Seiten und fünf gleichen Innenwinkeln. Es ist eines der bekanntesten Polygone und hat faszinierende mathematische Eigenschaften, die eng mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind.
⭐ Grundeigenschaften
- • 5 gleiche Seiten der Länge a
- • 5 gleiche Innenwinkel von 108°
- • 5 Symmetrieachsen
- • 5-zählige Rotationssymmetrie
🌟 Goldener Schnitt
Verhältnis Diagonale zu Seite:
d/a = φ ≈ 1,618
Grundlegende Formeln
📊 Alle Berechnungen basieren auf der Seitenlänge a:
Innenwinkel:
$$\alpha = \frac{(5-2) \times 180°}{5} = 108°$$
Diagonale:
$$d = a \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = a \times \phi \approx 1{,}618 \times a$$
Fläche:
$$A = \frac{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4} \times a^2 \approx 1{,}720 \times a^2$$
Umfang:
$$U = 5 \times a$$
Inkreisradius:
$$r = \frac{a}{2 \tan(36°)} \approx 0{,}688 \times a$$
Umkreisradius:
$$R = \frac{a}{2 \sin(36°)} \approx 0{,}851 \times a$$
Praktische Beispiele
📝 Beispielrechnung
Gegeben: Seitenlänge a = 5 cm
Diagonale berechnen:
$d = a \times \phi = 5 \times 1{,}618 \approx 8{,}09$ cm
Fläche berechnen:
$A = 1{,}720 \times a^2 = 1{,}720 \times 25 = 43{,}01$ cm²
Umfang berechnen:
$U = 5 \times a = 5 \times 5 = 25$ cm
Inkreisradius berechnen:
$r = 0{,}688 \times a = 0{,}688 \times 5 \approx 3{,}44$ cm
Umkreisradius berechnen:
$R = 0{,}851 \times a = 0{,}851 \times 5 \approx 4{,}25$ cm
Der Goldene Schnitt im Pentagon
Das Pentagon ist eng mit dem Goldenen Schnitt $\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$ verbunden:
Diagonalenverhältnis:
$$\frac{d}{a} = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$
Pentagramm:
Verbindet man alle Ecken mit Diagonalen, entsteht ein Pentagramm (5-zackiger Stern), in dem ebenfalls überall der Goldene Schnitt auftritt.
Fibonacci-Beziehung:
$$\phi = \lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$$ (Fibonacci-Verhältnis)
Rückrechnungsformeln
Seitenlänge aus anderen Werten:
• Aus Diagonale: $$a = \frac{d}{\phi} = d \times (\phi - 1) \approx 0{,}618 \times d$$
• Aus Fläche: $$a = \sqrt{\frac{4A}{\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}} \approx 0{,}763 \times \sqrt{A}$$
• Aus Umfang: $$a = \frac{U}{5}$$
• Aus Inkreisradius: $$a = 2r \tan(36°) \approx 1{,}453 \times r$$
• Aus Umkreisradius: $$a = 2R \sin(36°) \approx 1{,}176 \times R$$
Praktische Anwendungen
🏛️ Architektur & Design
- • Pentagon-Gebäude (Washington D.C.)
- • Festungsanlagen
- • Logos und Embleme
- • Münzen und Medaillen
🌿 Natur & Wissenschaft
- • Blüten (Apfel, Kirsche)
- • Seesterne und Quallen
- • Kristallographie
- • Platonische Körper
💡 Wissenswertes:
- Unmögliche Parkettierung: Regelmäßige Pentagone können die Ebene nicht vollständig parkettieren
- Konstruktion: Mit Zirkel und Lineal konstruierbar durch den Goldenen Schnitt
- Symbolik: In vielen Kulturen als Symbol für Harmonie und Vollkommenheit verehrt
- Mathematik: Seitenflächen des Dodekaeders (platonischer Körper)
KreisDreiecke
DreieckSpezielle Vierecke
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)
QuadratPolygone
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rahmen (rechteckig)
Konkaves Viereck
Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt
N-Eck (Universal)Allgemeine Vierecke
Vieleckring
Pentagon (Fünfeck)
Hexagon (Sechseck)
Konkaves Hexagon
Heptagon (Siebeneck)
Oktagon (Achteck)
Nonagon (Neuneck)
Dekagon (Zehneck)
Hendekagon (Elfeck)
Dodekagon (Zwölfeck)
Hexadekagon (16-eck)
Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)