Gleichschenkliges Dreieck Rechner

Online Rechner für alle Berechnungen am gleichschenkligen Dreieck

Eingabe (mindestens 2 Werte):

Schenkel ($a$)

Basis ($c$)

Höhe zur Basis ($h$)

Fläche ($A$)

Basiswinkel $\alpha$ (Grad)

Spitzenwinkel $\beta$ (Grad)

Dezimalstellen

Schenkel ($a$)

Basis ($c$)

Höhe zur Basis ($h$)

Fläche ($A$)

Umfang ($U$)

Basiswinkel $\alpha$ (Grad)

Spitzenwinkel $\beta$ (Grad)

Geben Sie mindestens zwei bekannte Werte ein. Der Rechner berechnet automatisch alle anderen Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks.

Eingaberegeln

• Mindestens zwei Werte erforderlich
• Winkel in Grad eingeben
• Dezimalzahlen mit Punkt oder Komma
• Schenkel sind die beiden gleichen Seiten

gleichseitiges Dreieck

Das gleichschenklige Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln. Die dritte Seite wird als Basis bezeichnet. Es hat eine Symmetrieachse, die durch die Spitze und die Mitte der Basis verläuft.

Eigenschaften:

Zwei gleiche Seiten: Die Schenkel $a$ sind gleich lang
Zwei gleiche Winkel: Die Basiswinkel $\alpha$ sind gleich groß
Eine Symmetrieachse: Von der Spitze zur Basismitte
Höhe zur Basis: Teilt die Basis in zwei gleiche Hälften

Formeln für das gleichschenklige Dreieck

Bezeichnungen: $a$ = Schenkel, $c$ = Basis, $h$ = Höhe zur Basis, $\alpha$ = Basiswinkel, $\beta$ = Spitzenwinkel

Winkelsumme:
$$\alpha + \alpha + \beta = 180° \quad \text{bzw.} \quad 2\alpha + \beta = 180°$$
Höhe zur Basis (Pythagoras):
$$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}$$
Fläche:
$$A = \frac{c \cdot h}{2}$$
Umfang:
$$U = 2a + c$$

Trigonometrische Beziehungen:
$$\sin \alpha = \frac{h}{a} \quad \text{und} \quad \cos \alpha = \frac{c/2}{a}$$

Beispielrechnung

Gegeben: Schenkel $a = 5$ cm, Basis $c = 6$ cm

Höhe berechnen (Pythagoras):
$h = \sqrt{a^2 - (c/2)^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ cm

Fläche berechnen:
$A = \frac{c \times h}{2} = \frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm²

Umfang berechnen:
$U = 2a + c = 2 \times 5 + 6 = 16$ cm

Basiswinkel berechnen:
$\cos \alpha = \frac{c/2}{a} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
$\alpha = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$

Spitzenwinkel berechnen:
$\beta = 180° - 2\alpha = 180° - 2 \times 53{,}13° \approx 73{,}74°$

Rückrechnungsformeln

Schenkel aus anderen Werten:
• Aus Basis und Höhe: $a = \sqrt{(c/2)^2 + h^2}$
• Aus Basis und Basiswinkel: $a = \frac{c/2}{\cos(\alpha)}$
• Aus Höhe und Basiswinkel: $a = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Basis aus anderen Werten:
• Aus Schenkel und Höhe: $c = 2\sqrt{a^2 - h^2}$
• Aus Schenkel und Basiswinkel: $c = 2a \times \cos(\alpha)$
• Aus Fläche und Höhe: $c = \frac{2A}{h}$

Besondere Fälle

Entartete Fälle:

$c = 0$: Das Dreieck wird zu einer Linie (entartet)
$c = 2a$: Das Dreieck wird zu einer Linie (gestreckt)
$a = b = c$: Übergang zum gleichseitigen Dreieck

Spezielle Winkel:

$\alpha = 60°$: Gleichseitiges Dreieck ($\beta = 60°$)
$\alpha = 45°$: Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck ($\beta = 90°$)
$\alpha = 30°$: Sehr spitzes gleichschenkliges Dreieck ($\beta = 120°$)

Praktische Anwendungen

Gleichschenklige Dreiecke kommen häufig vor:

Architektur: Giebeldächer, Türme, Brücken
Technik: Verstrebungen, Fachwerke
Natur: Blattformen, Kristalle
Navigation: Peilungen, Vermessung
Design: Logos, symmetrische Muster

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