Oktagon Rechner

Das Oktagon (Regelmäßiges Achteck)

Ein Oktagon ist ein regelmäßiges Achteck mit acht gleichen Seiten und acht gleichen Innenwinkeln. Es ist ein konstruierbares Polygon und findet in der Architektur und im Design häufige Anwendung.

Eigenschaften:

• Acht gleiche Seiten: alle Seiten haben die Länge $a$
• Acht gleiche Innenwinkel: jeder Winkel beträgt $135°$
• Acht Symmetrieachsen: vier durch Ecken, vier durch Seitenmittelpunkte
• 8-zählige Rotationssymmetrie: alle $45°$ identisch
• Konstruierbarkeit: Mit Zirkel und Lineal exakt konstruierbar

Grundlegende Formeln

Alle Berechnungen basieren auf der Seitenlänge $a$:

Innenwinkel:
$$\alpha = \frac{(8-2) \times 180°}{8} = 135°$$
Kurze Diagonale (über eine Ecke):
$$d_1 = \sqrt{2+\sqrt{ 2}} · a \ \ ≈ 1.848 · a $$
Mittlere Diagonale (über zwei Ecken):
$$d_2 = (1+\sqrt{ 2}) · a \ \ ≈ 2.414 · a $$
Lange Diagonale (über drei Ecken):
$$d_3 =\sqrt{4+2·\sqrt{ 2}} · a \ \ ≈ 2.613 · a$$
Fläche:
$$A = 2(1 + \sqrt{2})a^2 \approx 4{,}828 \times a^2$$
Umfang:
$$U = 8a$$
Inkreisradius:
$$r = \frac{a}{2}\left(1 + \sqrt{2}\right) \approx 1{,}207 \times a$$
Umkreisradius:
$$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \approx 1{,}307 \times a$$

Konstruierbarkeit

Das regelmäßige Oktagon ist konstruierbar, da 8 = 2³ ist (eine Zweierpotenz).

Konstruktionsverfahren:
Das Oktagon kann auf verschiedene Weise konstruiert werden:

• Aus dem Quadrat: Abschneiden der Ecken eines Quadrats
• Winkelhalbierung: Achtteilung des Vollwinkels durch Halbierung
• Kreisteilung: Teilung des Umkreises in 8 gleiche Teile

Konstruktion des Oktagons

Methode 1 - Aus dem Quadrat:

1. Zeichne ein Quadrat mit Seitenlänge $a(1 + \sqrt{2})$
2. Schneide an jeder Ecke ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ab
3. Die Katheten haben die Länge $\frac{a\sqrt{2}}{2}$
4. Das entstehende Achteck ist regulär

Methode 2 - Kreisteilung:

1. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt O
2. Teile den Vollwinkel in 8 gleiche Teile (je 45°)
3. Markiere die 8 Punkte auf dem Kreis
4. Verbinde die Punkte zu einem regelmäßigen Achteck

Beispielrechnung

Gegeben: Seitenlänge $a = 5$ cm

Kurze Diagonale berechnen:
$d_1 = \sqrt{2+\sqrt{ 2}} · a \ \ ≈ 1.848 · 5$ =9.24cm

Fläche berechnen:
$A = 2(1 + \sqrt{2})a^2 = 4{,}828 \times 25 \approx 120{,}71$ cm²

Umfang berechnen:
$U = 8 \times a = 8 \times 5 = 40$ cm

Inkreisradius berechnen:
$r = \frac{a}{2}(1 + \sqrt{2}) = 1{,}207 \times 5 \approx 6{,}04$ cm

Umkreisradius berechnen:
$R = \frac{a}{2}\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = 1{,}307 \times 5 \approx 6{,}54$ cm

Praktische Anwendungen

Oktagone finden vielfältige Anwendung:

• Verkehrswesen: Stopp-Schilder weltweit
• Architektur: Kuppeln, Türme, Grundrisse
• Kampfsport: MMA-Käfige (Octagon)
• Uhrmacherei: Uhrengehäuse und Zifferblätter
• Gartengestaltung: Pavillons und Brunnen
• Spiele: Spielbretter und Würfelformen

Mathematische Besonderheiten

Parkettierung:
Regelmäßige Oktagone können zusammen mit Quadraten die Ebene lückenlos füllen (semiregulare Parkettierung).

Symmetriegruppe:
Das Oktagon besitzt die Symmetriegruppe D₈ mit 16 Symmetrieoperationen.

Verwandte Polygone

Andere regelmäßige Polygone:

• Dreieck (3 Seiten): $\alpha = 60°$ - konstruierbar
• Quadrat (4 Seiten): $\alpha = 90°$ - konstruierbar
• Pentagon (5 Seiten): $\alpha = 108°$ - konstruierbar
• Hexagon (6 Seiten): $\alpha = 120°$ - konstruierbar
• Heptagon (7 Seiten): $\alpha \approx 128{,}57°$ - nicht konstruierbar
• Oktagon (8 Seiten): $\alpha = 135°$ - konstruierbar

Konstruierbarkeit:
Das Oktagon ist konstruierbar, da 8 = 2³ eine Zweierpotenz ist.

Historisches und Kulturelles

Antike und Mittelalter:
Das Oktagon war bereits in der Antike bekannt und wurde in der Architektur verwendet. Viele Baptisterien und Mausoleen haben oktagonale Grundrisse.

Islamische Kunst:
In der islamischen Kunst spielen achteckige Muster eine wichtige Rolle, besonders in der Geometrie der Ornamente.

Moderne Verwendung:

• Stopp-Schilder seit 1968 weltweit oktagonal
• Feng-Shui: Bagua-Oktagon als Symbol
• Sportstätten: "Octagon" als Arena-Form
• Digitale Welt: Pixelart und Grafikdesign

Geometrie Rechner 2D Runde Formen

Kreis

Dreiecke

Dreieck
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges Dreieck
Rechtwinkliges Dreieck
Seitenhalbierende
Dreieck (Koordinaten)

Spezielle Vierecke

Quadrat
Rechteck
Parallelogramm
Raute
Trapez
Symmetrisches Trapez
Rechtwinkliges Trapez
Dreigleichseitiges Trapez
Trapez Diagonale p
Trapez Diagonale q
Goldene-Rechteck
Rechteck in Quadrat
Rechteckiger Rahmen
Konkaves Viereck Pfeilviereck
Drachenviereck
Drachenviereck Flächeninhalt

Polygone

Pentagon (Fünfeck)
Hexagon (Sechseck)
Heptagon (Siebeneck)

Allgemeine Vierecke

Sehnenviereck
Überschlagenes Viereck
Unregelmäßiges Viereck
Viereck (Koordinaten)