Inverser hyperbolischer Kosinus (acosh) Rechner

📐 Grundformel

Definition des inversen hyperbolischen Kosinus:

\[\text{acosh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\] \[\text{für } x \geq 1\]

Herleitung: Aus y = cosh(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2 folgt x = acosh(y)

🔄 Beziehungen zu anderen Funktionen

Zusammenhänge mit verwandten Funktionen:

\[\cosh(\text{acosh}(x)) = x \text{ für } x \geq 1\] \[\text{acosh}(\cosh(x)) = |x| \text{ für } x \in \mathbb{R}\] \[\text{acosh}(x) = \text{asinh}(\sqrt{x^2-1}) \text{ für } x \geq 1\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{acosh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \text{ für } x > 1\] \[\int \text{acosh}(x) dx = x \cdot \text{acosh}(x) - \sqrt{x^2-1} + C\]

Beachte: Die Ableitung ist für x = 1 nicht definiert (senkrechte Tangente)

📝 Beispiel 1: Grundwerte

Aufgabe: Berechnung verschiedener acosh-Werte
Berechnung:

\[\text{acosh}(1) = \ln(1 + \sqrt{1-1}) = \ln(1) = 0\] \[\text{acosh}(2) = \ln(2 + \sqrt{4-1}) = \ln(2 + \sqrt{3}) \approx 1,317\] \[\text{acosh}(3) = \ln(3 + \sqrt{9-1}) = \ln(3 + 2\sqrt{2}) \approx 1,763\]

Verifikation: cosh(1,317) ≈ 2 ✓

📝 Beispiel 2: Physikalische Anwendung

Aufgabe: Rapidität in der Relativitätstheorie
Gegeben: Lorentz-Faktor γ = 1,25
Berechnung:

\[\text{Rapidität } \phi = \text{acosh}(\gamma)\] \[\phi = \text{acosh}(1,25) = \ln(1,25 + \sqrt{1,25^2-1})\] \[\phi = \ln(1,25 + \sqrt{0,5625}) \approx \ln(2) \approx 0,693\] \[\text{Geschwindigkeit: } v = c \cdot \tanh(\phi) \approx 0,6c\]

Interpretation: Teilchen bewegt sich mit 60% der Lichtgeschwindigkeit

📝 Beispiel 3: Kettenlinien-Problem

Aufgabe: Durchhang einer hängenden Kette
Gegeben: Kette mit Länge L = 20m, Aufhängepunkte 16m auseinander
Berechnung:

\[\text{Ketten-Parameter: } a = \frac{L}{2s} \text{ mit } s = 8m\] \[\text{Durchhang: } h = a \cdot \left(\cosh\left(\frac{s}{a}\right) - 1\right)\] \[\text{Umkehrung: } \frac{s}{a} = \text{acosh}\left(\frac{h}{a} + 1\right)\]

Anwendung: Brückenbau, Freileitungen, Architektur