Grad in Radiant (deg2rad) Rechner

📐 Definition des Bogenmaßes

Herleitung und Bedeutung des Radiant:

\[\text{Bogenmaß} = \frac{\text{Bogenlänge}}{\text{Radius}}\] \[\text{Vollkreis: } 2\pi r / r = 2\pi \text{ rad}\] \[\text{Umrechnung: } \text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180°}\]

Bedeutung: 1 Radiant ist der Winkel, bei dem Bogenlänge = Radius

🔄 Warum Radiant in der Mathematik?

Vorteile des Bogenmaßes:

\[\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \text{ (nur für x in Radiant)}\] \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \text{ (nur für x in Radiant)}\] \[\text{Bogenlänge} = r \cdot \alpha \text{ (α in Radiant)}\]

Vorteil: Natürliche Beziehungen in Analysis und Trigonometrie

📊 Umrechnungsformeln

Beide Richtungen der Winkelumrechnung:

\[\text{Grad → Radiant: } \text{rad} = \text{deg} \times \frac{\pi}{180}\] \[\text{Radiant → Grad: } \text{deg} = \text{rad} \times \frac{180}{\pi}\] \[\text{Merkhilfe: } \pi \text{ rad} = 180°\]

Konstante: π/180 ≈ 0.01745329252

📝 Beispiel 1: Häufige Winkel

Aufgabe: Umrechnung wichtiger Winkel
Berechnung:

\[90° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}571 \text{ rad}\] \[45° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 \text{ rad}\] \[30° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524 \text{ rad}\] \[360° \times \frac{\pi}{180} = 2\pi \approx 6{,}283 \text{ rad}\]

Merkhilfe: 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π

📝 Beispiel 2: Kreisbewegung

Aufgabe: Winkelgeschwindigkeit berechnen
Gegeben: 120 Umdrehungen pro Minute
Berechnung:

\[\text{Eine Umdrehung} = 360° = 2\pi \text{ rad}\] \[120 \text{ U/min} = 120 \times 2\pi \text{ rad/min}\] \[\omega = 240\pi \text{ rad/min} \approx 754{,}0 \text{ rad/min}\] \[\omega = \frac{754{,}0}{60} \approx 12{,}57 \text{ rad/s}\]

Physik: Radiant ist die natürliche Einheit für Rotationen

📝 Beispiel 3: Computergrafik

Aufgabe: Rotation eines Objekts
Gegeben: Drehung um 45° pro Frame bei 60 FPS
Berechnung:

\[\text{Drehung pro Frame} = 45° \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\text{Drehung pro Sekunde} = 60 \times \frac{\pi}{4} = 15\pi \text{ rad/s}\] \[\text{Vollrotation nach} = \frac{2\pi}{15\pi} \times 60 = 8 \text{ Frames}\]

Praxis: Grafik-APIs verwenden meist Radiant für Rotationen

📊 Wichtige Winkel im Vergleich

📐 Einheitskreis und Radiant

Zusammenhang zwischen Bogenmaß und trigonometrischen Funktionen:

\[\sin(\alpha) = y\text{-Koordinate im Einheitskreis}\] \[\cos(\alpha) = x\text{-Koordinate im Einheitskreis}\] \[\text{Bogenlänge} = r \cdot \alpha = 1 \cdot \alpha = \alpha \text{ (für Einheitskreis)}\] \[\text{Periode: } \sin(x + 2\pi) = \sin(x)\]

Intuition: Im Einheitskreis entspricht das Bogenmaß direkt der Bogenlänge

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
function deg2rad(degrees) {
  return degrees * Math.PI / 180;
}

Python:
import math
def deg2rad(degrees):
  return math.radians(degrees)

C++:
double deg2rad(double degrees) {
  return degrees * M_PI / 180.0;
}

Konstante: π/180 ≈ 0.017453292519943295