Tangens (tan) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Tangens:

\[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \text{ für } \cos(\alpha) \neq 0\] \[\tan(-x) = -\tan(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\tan(x + \pi) = \tan(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)\]

🔄 Additionstheoreme

Zusammenhänge mit Winkelsummen und -differenzen:

\[\tan(a + b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}\] \[\tan(a - b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\] \[\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}\] \[\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)\] \[\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C = \ln|\sec(x)| + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\tan(x) = 2\sec^2(x)\tan(x)\] \[\int \tan^2(x) \, dx = \tan(x) - x + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer positiv, tan ist streng monoton steigend in jedem Intervall

📝 Beispiel 1: Steigung berechnen

Aufgabe: Steigung einer Rampe
Gegeben: Höhe \(h = 3\) m, horizontale Entfernung \(l = 12\) m
Berechnung:

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{l} = \frac{3}{12} = 0{,}25\] \[\alpha = \arctan(0{,}25) \approx 14{,}04°\] \[\text{Steigung in Prozent: } 0{,}25 \times 100\% = 25\%\]

Praxis: 25% Steigung entspricht einem Winkel von etwa 14°

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Tangenswerte merken
Berechnung:

\[\tan(0°) = \frac{\sin(0°)}{\cos(0°)} = \frac{0}{1} = 0\] \[\tan(30°) = \frac{\sin(30°)}{\cos(30°)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577\] \[\tan(45°) = \frac{\sin(45°)}{\cos(45°)} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1\] \[\tan(60°) = \frac{\sin(60°)}{\cos(60°)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\]

Merkhilfe: 45° ergibt immer tan = 1 (gleiche Katheten)

📝 Beispiel 3: Brechungsgesetz (Optik)

Aufgabe: Lichtbrechung an Grenzfläche
Gegeben: Einfallswinkel \(\theta_1 = 30°\), Brechungsindex \(n_1 = 1\) (Luft), \(n_2 = 1{,}5\) (Glas)
Berechnung:

\[\text{Snellius: } n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\] \[\sin(\theta_2) = \frac{n_1 \sin(\theta_1)}{n_2} = \frac{1 \cdot \sin(30°)}{1{,}5} = \frac{0{,}5}{1{,}5} = \frac{1}{3}\] \[\theta_2 = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) \approx 19{,}47°\] \[\tan(\theta_2) = \tan(19{,}47°) \approx 0{,}354\]

Physik: Tangens hilft bei der Berechnung von Strahlenwegen

🔢 Taylor-Reihe von tan(x)

Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\tan(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1}\] \[= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} + \ldots\] \[\text{Konvergenzradius: } R = \frac{\pi}{2}\]

Besonderheit: \(B_{2n}\) sind Bernoulli-Zahlen, nur ungerade Potenzen

🏗️ Baustatik und Konstruktion

Anwendung in der Ingenieurstechnik:

\[\text{Dachneigung: } \alpha = \arctan\left(\frac{\text{Firsthöhe}}{\text{Grundrissbreite}/2}\right)\] \[\text{Schiefe Ebene: } F_{\parallel} = mg \sin(\alpha), \quad F_{\perp} = mg \cos(\alpha)\] \[\text{Reibungswinkel: } \mu = \tan(\phi)\] \[\text{Kräftezerlegung: } F_x = F \cos(\alpha), \quad F_y = F \sin(\alpha)\]

Praxis: Steigungen werden oft in Prozent angegeben: Steigung% = tan(α) × 100