Dekadischer Logarithmus (log10) Rechner

🔢 Zehnerpotenzen und Logarithmen

Direkter Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen:

\[10^0 = 1 \Rightarrow \log_{10}(1) = 0\] \[10^1 = 10 \Rightarrow \log_{10}(10) = 1\] \[10^2 = 100 \Rightarrow \log_{10}(100) = 2\] \[10^3 = 1000 \Rightarrow \log_{10}(1000) = 3\] \[10^{-1} = 0{,}1 \Rightarrow \log_{10}(0{,}1) = -1\]

🔄 Logarithmusgesetze für log₁₀

Spezielle Rechenregeln für den dekadischen Logarithmus:

\[\text{Produktregel: } \log_{10}(x \cdot y) = \log_{10}(x) + \log_{10}(y)\] \[\text{Quotientenregel: } \log_{10}\left(\frac{x}{y}\right) = \log_{10}(x) - \log_{10}(y)\] \[\text{Potenzregel: } \log_{10}(x^n) = n \cdot \log_{10}(x)\] \[\text{Basiswechsel: } \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} = \frac{\ln(x)}{2{,}303}\]

📊 Größenordnungen verstehen

Praktische Bedeutung des dekadischen Logarithmus:

\[\text{Wissenschaftliche Notation: } x = a \times 10^n\] \[\text{Dann ist: } \log_{10}(x) = \log_{10}(a) + n\] \[\text{Beispiel: } 2{,}5 \times 10^6 = 2.500.000\] \[\log_{10}(2.500.000) = \log_{10}(2{,}5) + 6 \approx 0{,}4 + 6 = 6{,}4\]

📝 Beispiel 1: Zehnerpotenzen

Aufgabe: log₁₀-Werte von Zehnerpotenzen
Berechnung:

\[\log_{10}(10^n) = n \quad \text{(für alle } n \in \mathbb{R}\text{)}\] \[\log_{10}(1.000.000) = \log_{10}(10^6) = 6\] \[\log_{10}(0{,}001) = \log_{10}(10^{-3}) = -3\] \[\log_{10}(\sqrt{10}) = \log_{10}(10^{1/2}) = \frac{1}{2} = 0{,}5\]

Regel: Der Logarithmus einer Zehnerpotenz ist der Exponent

📝 Beispiel 2: pH-Wert Berechnung

Aufgabe: pH-Wert einer Lösung berechnen
Gegeben: [H⁺] = 3,16 × 10⁻⁴ mol/L
Berechnung:

\[\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\] \[\text{pH} = -\log_{10}(3{,}16 \times 10^{-4})\] \[\text{pH} = -(\log_{10}(3{,}16) + \log_{10}(10^{-4}))\] \[\text{pH} = -(\log_{10}(3{,}16) + (-4))\] \[\text{pH} = -0{,}5 + 4 = 3{,}5\]

Chemie: pH = 3,5 bedeutet saure Lösung

📝 Beispiel 3: Dezibel-Skala

Aufgabe: Schallpegel in Dezibel berechnen
Gegeben: Schallintensität I = 10⁻⁶ W/m²
Berechnung:

\[L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \text{ dB}\] \[I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2 \text{ (Hörschwelle)}\] \[L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right)\] \[L = 10 \cdot \log_{10}(10^6) = 10 \cdot 6 = 60 \text{ dB}\]

Akustik: 60 dB entspricht normaler Gesprächslautstärke

📊 Größenordnungen bestimmen

📊 pH-Skala

Die bekannteste Anwendung des dekadischen Logarithmus:

\[\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]\] \[\text{Beispiele:}\] \[\text{pH } 0: \text{ stark sauer } ([\text{H}^+] = 1 \text{ mol/L})\] \[\text{pH } 7: \text{ neutral } ([\text{H}^+] = 10^{-7} \text{ mol/L})\] \[\text{pH } 14: \text{ stark basisch } ([\text{H}^+] = 10^{-14} \text{ mol/L})\]

🔊 Dezibel-Skala

Logarithmische Skala für Schallpegel:

\[L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \text{ dB}\] \[\text{Beispiele:}\] \[0 \text{ dB}: \text{ Hörschwelle}\] \[60 \text{ dB}: \text{ normale Unterhaltung}\] \[120 \text{ dB}: \text{ Schmerzgrenze}\] \[\text{Jede +10 dB = 10× höhere Intensität}\]

🌊 Richter-Skala

Logarithmische Skala für Erdbebenstärke:

\[M = \log_{10}\left(\frac{A}{A_0}\right)\] \[\text{Beispiele:}\] \[\text{Magnitude } 4: \text{ leichtes Beben}\] \[\text{Magnitude } 6: \text{ starkes Beben}\] \[\text{Magnitude } 8: \text{ großes Beben}\] \[\text{Jede +1 Magnitude = 10× höhere Amplitude}\]

📊 Logarithmus-Vergleichstabelle

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
Math.log10(x) // dekadischer Logarithmus
Math.log10(100) // = 2

Python:
import math
math.log10(x) # dekadischer Logarithmus
math.log10(1000) # = 3

C++:
#include <cmath>
log10(x) // dekadischer Logarithmus
log10(100) // = 2

Hinweis: Die meisten Programmiersprachen haben eine eigene log10-Funktion