Semifactorial (Doppelfakultät)-Funktion Rechner
Rechner und Formel zur Berechnung der Doppelfakultät x!
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Diese Funktion liefert die Doppelfakultät zum angegebenen Argumenten.
Zur Berechnung geben Sie eine natürliche Zahl ein, dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Definition
Die Semifakultät einer nichtnegativen ganzen Zahl n, oft geschrieben als n!!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen ≤ n, die dieselbe Parität (gerade/ungerade) haben wie n: $$ n!! = n \times (n - 2) \times (n - 4) \times \dots $$ Für gerade n beginnt die Folge bei 2, für ungerade n bei 1.
Produktnotation
$$ n!! = \prod_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (\,n - 2k\,) $$ Beispiel: $$ 7!! = \prod_{k=0}^{3} (7 - 2k) \quad = \quad 7 \times 5 \times 3 \times 1 = 105 $$
Anwendungen
- Kommt in kombinatorischen Formeln vor, z. B. zur Zählung perfekter Paarungen.
- Tritt in Formeln für Volumen und Oberfläche von Hyperkugeln auf.
- Asymptotische Näherung (Stirling-artig) für große n: $$ n!! \sim \begin{cases} \sqrt{\pi n}\,\bigl(\tfrac{n}{e}\bigr)^{n/2}, & n\text{ gerade},\\[4pt] \sqrt{2n}\,\bigl(\tfrac{n}{e}\bigr)^{n/2}, & n\text{ ungerade}. \end{cases} $$
- Verallgemeinerung: k-Fakultät (jede k-te Zahl multiplizieren).
Trigonometrie
acos - Arkuskosinus
acot - Arkuskotangens
acsc - Arkuskosekans
asec - Arkussekans
asin - Arkussinus
atan - Arkustangens
atan2 - Arkustangens von y/x
cos - Kosinus
cot - Kotangens
csc - Kosekans
sec - Sekans
sin - Sinus
sinc - Kardinalsinus
tan - Tangens
hypot - Hypotenuse
deg2rad - Grad in Radiant
rad2deg - Radiant in Grad
Hyperbolik
acosh - Arkuskosinus hyperbolikus
asinh - Areasinus hyperbolikus
atanh - Arkustangens hyperbolikus
cosh - Kosinus hyperbolikus
sinh - Sinus hyperbolikus
tanh - Tangens hyperbolikus
Logarithmus
log - Logarithmus zur angegebene Basis
ln - Natürlicher Logarithmus zur Basis e
log10 - Logarithmus zur Basis 10
log2 - Logarithmus zur Basis 2
exp - Exponenten zur Basis e
Aktivierung
Softmax
Sigmoid
Derivate Sigmoid
Logit
Derivate Logit
Softsign
Derivate Softsign
Softplus
Logistic
Gamma
Eulersche Gamma Funktion
Lanczos Gamma-Funktion
Stirling Gamma-Funktion
Log Gamma-Funktion
Beta
Beta Funktion
Logarithmische Beta Funktion
Unvollstaendige Beta Funktion
Inverse unvollstaendige Beta Funktion
Fehlerfunktionen
erf - Fehlerfunktion
erfc - komplementäre Fehlerfunktion
Kombinatorik
Fakultät
Semifakultät
Steigende Fakultät
Fallende Fakultät
Subfakultät
Permutationen und Kombinationen
Permutation
Kombinationen
Mittlerer Binomialkoeffizient
Catalan-Zahl
Lah Zahl