Arkuskotangens (acot) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkuskotangens:

\[y = \text{acot}(x) \Leftrightarrow \cot(y) = x\] \[\text{für } x \neq 0 \text{ und } y \in (0, \pi)\]

Beziehung zu arctan: \(\text{acot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)\) für \(x > 0\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\text{acot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \text{ für } x > 0\] \[\text{acot}(x) = \pi + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) \text{ für } x < 0\] \[\text{acot}(x) + \text{acot}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} \text{ für } x > 0\] \[\cot(\text{acot}(x)) = x \text{ für alle } x \neq 0\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\text{acot}(x) = -\frac{1}{1+x^2} \text{ für } x \neq 0\] \[\int \text{acot}(x) \, dx = x \cdot \text{acot}(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\] \[\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + C = -\text{acot}(x) + \frac{\pi}{2} + C\]

Beachte: Die Ableitung ist immer negativ, acot ist streng monoton fallend

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen
Gegeben: Ankathete \(b = 8\), Gegenkathete \(a = 6\)
Berechnung:

\[\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}333\] \[\alpha = \text{acot}(1{,}333) \approx 36{,}87°\] \[\text{In Radiant: } \alpha \approx 0{,}644 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\cot(36{,}87°) = 1{,}333\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Kotangenswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\text{acot}(\sqrt{3}) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\] \[\text{acot}(1) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\text{acot}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\] \[\lim_{x \to 0^+} \text{acot}(x) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\] \[\lim_{x \to \infty} \text{acot}(x) = 0° = 0 \text{ rad}\]

Merkhilfe: Diese Werte sind die Komplemente der entsprechenden arctan-Werte

📝 Beispiel 3: Steigungswinkel berechnen

Aufgabe: Steigungswinkel einer Rampe
Gegeben: Steigung 1:8 (Höhe:Länge)
Berechnung:

\[\text{Steigung} = \frac{\text{Höhe}}{\text{Länge}} = \frac{1}{8} = 0{,}125\] \[\tan(\alpha) = 0{,}125 \Rightarrow \cot(\alpha) = \frac{1}{0{,}125} = 8\] \[\alpha = \text{acot}(8) = \arctan\left(\frac{1}{8}\right) \approx 7{,}13°\] \[\text{Steigungswinkel: } \alpha \approx 7{,}13° \text{ oder } 0{,}124 \text{ rad}\]

Anwendung: Straßenbau, Rampenplanung, Architektur

🔵 Kotangens und rechtwinkliges Dreieck

Geometrische Bedeutung im rechtwinkligen Dreieck:

\[\cot(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{b}{a}\] \[\text{Dann: } \alpha = \text{acot}\left(\frac{b}{a}\right)\] \[\text{Komplementärwinkel: } \beta = 90° - \alpha = \text{acot}\left(\frac{a}{b}\right)\] \[\text{Pythagoras: } c^2 = a^2 + b^2\]

Interpretation: acot gibt den Winkel für ein gegebenes Seitenverhältnis an

🔢 Reihenentwicklung von acot(x)

Asymptotische Entwicklung für große |x|:

\[\text{acot}(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} - \frac{1}{7x^7} + \ldots \text{ für } |x| > 1\] \[= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)x^{2n+1}} \text{ für } |x| > 1\] \[\text{Für kleine Werte: über } \text{acot}(x) = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)\]

Beachte: Verschiedene Reihen für verschiedene Bereiche von x