Arkuskosinus (acos) Rechner

📐 Grundbeziehung

Definition des Arkuskosinus:

\[y = \arccos(x) \Leftrightarrow \cos(y) = x\] \[\text{für } x \in [-1, 1] \text{ und } y \in [0, \pi]\]

Verifikation: \(\cos(\arccos(x)) = x\) für alle \(x \in [-1, 1]\)

🔄 Wichtige Beziehungen

Zusammenhänge mit anderen Funktionen:

\[\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}\] \[\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\] \[\arccos(x) = \arctan\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\right) \text{ für } x > 0\] \[\arccos(0) = \frac{\pi}{2} = 90°\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \text{ für } |x| < 1\] \[\int \arccos(x) \, dx = x \arccos(x) - \sqrt{1-x^2} + C\] \[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C = -\arccos(x) + C\]

Beachte: Die Ableitung ist negativ, arccos ist streng monoton fallend

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Winkel aus Seitenverhältnissen berechnen
Gegeben: Anliegende Seite \(b = 6\), Hypotenuse \(c = 20\)
Berechnung:

\[\cos(\alpha) = \frac{\text{Anliegende Seite}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{6}{20} = 0{,}3\] \[\alpha = \arccos(0{,}3) \approx 72{,}54°\] \[\text{In Radiant: } \alpha \approx 1{,}266 \text{ rad}\]

Verifikation: \(\cos(72{,}54°) = 0{,}3\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Bekannte Kosinuswerte und ihre Winkel
Berechnung:

\[\arccos(1) = 0° = 0 \text{ rad}\] \[\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30° = \frac{\pi}{6} \text{ rad}\] \[\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45° = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\] \[\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° = \frac{\pi}{3} \text{ rad}\] \[\arccos(0) = 90° = \frac{\pi}{2} \text{ rad}\]

Merkhilfe: Diese Werte entsprechen den Hauptwinkeln im Einheitskreis

📝 Beispiel 3: Vektorwinkel berechnen

Aufgabe: Winkel zwischen zwei Vektoren
Gegeben: \(\vec{a} = (3, 4)\), \(\vec{b} = (1, 2)\)
Berechnung:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\] \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 11\] \[|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \quad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\] \[\cos(\theta) = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \approx 0{,}9839\] \[\theta = \arccos(0{,}9839) \approx 10{,}3°\]

Anwendung: Computergrafik, Physik (Kraftvektoren), Maschinenbau

🔵 Einheitskreis und arccos

Geometrische Bedeutung im Einheitskreis:

\[x^2 + y^2 = 1 \text{ (Einheitskreis)}\] \[\text{Für Punkt } (x, y) \text{ auf dem Kreis: } \cos(\theta) = x\] \[\text{Dann: } \theta = \arccos(x) \text{ mit } \theta \in [0, \pi]\] \[\text{Bogenlänge: } s = \theta \cdot r = \arccos(x) \cdot 1 = \arccos(x)\]

Interpretation: arccos(x) gibt den Winkel im oberen Halbkreis an

🔢 Taylor-Reihe von arccos(x)

Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)\] \[= \frac{\pi}{2} - \left(x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{15x^7}{336} + \ldots\right)\] \[= \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\] \[\text{Konvergenzradius: } R = 1\]

Beachte: Die Reihe konvergiert für \(|x| \leq 1\)