Sinus (sin) Rechner

📐 Grundbeziehungen

Wichtige Identitäten des Sinus:

\[\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \text{ (Pythagoräischer Lehrsatz)}\] \[\sin(-x) = -\sin(x) \text{ (ungerade Funktion)}\] \[\sin(x + 2\pi) = \sin(x) \text{ (Periodizität)}\] \[\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\]

🔄 Additionstheoreme

Zusammenhänge mit Winkelsummen und -differenzen:

\[\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\] \[\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)\] \[\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\] \[\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}\]

📊 Ableitung und Integration

Differential- und Integralrechnung:

\[\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\] \[\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C\] \[\frac{d^2}{dx^2}\sin(x) = -\sin(x)\] \[\int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\]

Beachte: Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus

📝 Beispiel 1: Rechtwinkliges Dreieck

Aufgabe: Gegenkathete aus Hypotenuse und Winkel berechnen
Gegeben: Hypotenuse \(c = 10\), Winkel \(\alpha = 30°\)
Berechnung:

\[\sin(30°) = \frac{a}{c} = \frac{a}{10}\] \[a = 10 \cdot \sin(30°) = 10 \cdot 0{,}5 = 5\] \[\text{Gegenkathete: } a = 5 \text{ Einheiten}\]

Verifikation: \(\sin(30°) = 0{,}5\) ✓

📝 Beispiel 2: Spezielle Winkel

Aufgabe: Wichtige Sinuswerte merken
Berechnung:

\[\sin(0°) = 0\] \[\sin(30°) = \frac{1}{2} = 0{,}5\] \[\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707\] \[\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866\] \[\sin(90°) = 1\] \[\sin(180°) = 0\]

Merkhilfe: Diese Werte sind Grundlage der Trigonometrie

📝 Beispiel 3: Harmonische Schwingung

Aufgabe: Position eines schwingenden Objekts
Gegeben: Amplitude \(A = 5\) cm, Frequenz \(f = 2\) Hz, Zeit \(t = 0{,}125\) s
Berechnung:

\[x(t) = A \sin(2\pi f t)\] \[x(0{,}125) = 5 \sin(2\pi \cdot 2 \cdot 0{,}125)\] \[x(0{,}125) = 5 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 5 \cdot 1 = 5 \text{ cm}\] \[\text{Position nach 0{,}125 s: } x = 5 \text{ cm (Maximum)}\]

Physik: Schwingungen, Wellen, Wechselstrom

🔢 Taylor-Reihe von sin(x)

Vollständige Reihenentwicklung um \(x = 0\):

\[\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - \ldots\] \[\text{Konvergiert für alle } x \in \mathbb{R}\]

Besonderheit: Nur ungerade Potenzen von x (aufgrund der ungeraden Funktion)