Fehlerfunktion Erf Rechner

📈 Grundlegende Eigenschaften

Wichtige mathematische Eigenschaften der Fehlerfunktion:

\[\text{Definition: } \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\] \[\text{Ungerade Funktion: } \text{erf}(-x) = -\text{erf}(x)\] \[\text{Grenzwerte: } \text{erf}(0) = 0, \quad \text{erf}(\infty) = 1, \quad \text{erf}(-\infty) = -1\] \[\text{Ableitung: } \frac{d}{dx}\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}\] \[\text{Reihenentwicklung: } \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}\]

🔄 Verbindung zur Normalverteilung

Zentrale Rolle in der Statistik:

\[\text{Standardnormalverteilung CDF: } \Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]\] \[\text{Allgemeine Normalverteilung: } F(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]\] \[\text{Wahrscheinlichkeit im Intervall: } P(a \leq X \leq b) = \frac{1}{2}\left[\text{erf}\left(\frac{b-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right) - \text{erf}\left(\frac{a-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]\] \[\text{2σ-Regel: } P(|\mu - X| \leq 2\sigma) = \text{erf}(\sqrt{2}) \approx 0{,}9545\]

📊 Wichtige Werte

Häufig verwendete Funktionswerte:

\[\text{erf}(0) = 0\] \[\text{erf}(0{,}5) \approx 0{,}5205\] \[\text{erf}(1) \approx 0{,}8427\] \[\text{erf}(\sqrt{2}) \approx 0{,}9545 \text{ (2σ-Bereich)}\] \[\text{erf}(2) \approx 0{,}9953\] \[\text{erf}(3) \approx 0{,}9999779\]

📝 Beispiel 1: Normalverteilung

Aufgabe: Wahrscheinlichkeit bei Standardnormalverteilung
Gegeben: X ~ N(0,1), gesucht P(X ≤ 1)
Berechnung:

\[P(X \leq 1) = \Phi(1) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right]\] \[\text{erf}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \text{erf}(0{,}7071) \approx 0{,}6827\] \[P(X \leq 1) = \frac{1}{2}[1 + 0{,}6827] = 0{,}8413\]

Interpretation: 84,13% der Werte liegen unter 1 bei der Standardnormalverteilung

📝 Beispiel 2: Wärmeleitung

Aufgabe: Temperaturverteilung in einem Stab
Szenario: Eindimensionale Wärmeleitung mit Anfangsbedingungen
Lösung:

\[\text{Wärmeleitungsgleichung: } \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\] \[\text{Lösung mit Sprungfunktion: } u(x,t) = \frac{u_0}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x}{2\sqrt{\alpha t}}\right)\right]\] \[\text{Für } x = 1, t = 1, \alpha = 0{,}1: u(1,1) = \frac{u_0}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{1}{2\sqrt{0{,}1}}\right)\right]\] \[= \frac{u_0}{2}[1 + \text{erf}(1{,}58)] \approx \frac{u_0}{2}[1 + 0{,}976] = 0{,}988 u_0\]

Anwendung: Temperaturverlauf in technischen Systemen

📝 Beispiel 3: Qualitätskontrolle

Aufgabe: Ausschussrate bei Fertigungsprozess
Gegeben: μ = 100mm, σ = 2mm, Toleranz: 96-104mm
Berechnung:

\[P(96 \leq X \leq 104) = P\left(\frac{96-100}{2} \leq Z \leq \frac{104-100}{2}\right)\] \[= P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(-2)\] \[= \frac{1}{2}\left[\text{erf}\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right) - \text{erf}\left(\frac{-2}{\sqrt{2}}\right)\right]\] \[= \text{erf}(\sqrt{2}) = \text{erf}(1{,}414) \approx 0{,}9545\]

Bedeutung: 95,45% der Produkte liegen innerhalb der Toleranz (2σ-Regel)

💻 Code-Implementierungen

Effiziente Implementierung der Fehlerfunktion:

Python (SciPy/Math):
import math
from scipy.special import erf, erfc
import numpy as np

# Fehlerfunktion
result = math.erf(x) # Built-in seit Python 3.2
result = erf(x) # SciPy Version

# Anwendung: Normalverteilung CDF
def normal_cdf(x, mu=0, sigma=1):
  """Kumulative Verteilungsfunktion der Normalverteilung"""
  return 0.5 * (1 + erf((x - mu) / (sigma * np.sqrt(2))))

# Beispiel: P(X ≤ 1) bei N(0,1)
prob = normal_cdf(1, 0, 1)
print(f"P(X ≤ 1) = {prob:.4f}")

R:
# R hat keine built-in erf, aber:
erf <- function(x) 2 * pnorm(x * sqrt(2)) - 1
# Oder mit speziellen Paketen:
library(pracma)
result <- erf(x)

MATLAB:
result = erf(x); % Built-in Funktion
% Normalverteilung CDF:
normal_cdf = @(x, mu, sigma) 0.5 * (1 + erf((x - mu) / (sigma * sqrt(2))));

🎯 Statistische Anwendung

Normalverteilungs-Toolkit:

Python Normalverteilungs-Toolkit:
import math
import numpy as np

class NormalDistribution:
  def __init__(self, mu=0, sigma=1):
    self.mu = mu
    self.sigma = sigma
  
  def cdf(self, x):
    """Kumulative Verteilungsfunktion"""
    return 0.5 * (1 + math.erf((x - self.mu) / (self.sigma * math.sqrt(2))))
  
  def pdf(self, x):
    """Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion"""
    return (1 / (self.sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-0.5 * ((x - self.mu) / self.sigma)**2)
  
  def interval_prob(self, a, b):
    """P(a ≤ X ≤ b)"""
    return self.cdf(b) - self.cdf(a)
  
  def sigma_rule(self, k):
    """k-Sigma-Regel: P(|X - μ| ≤ k*σ)"""
    return 2 * self.cdf(self.mu + k * self.sigma) - 1

# Beispiel
norm = NormalDistribution(100, 15)
print(f"2σ-Regel: {norm.sigma_rule(2):.4f}") # ≈ 0.9545
print(f"P(85 ≤ X ≤ 115): {norm.interval_prob(85, 115):.4f}")

🎯 Numerische Approximation

Eigene Implementierung für Lernzwecke:

Python Approximation:
import math

def erf_approx_series(x, terms=20):
  """Reihenentwicklung der Fehlerfunktion"""
  if abs(x) > 3: # Für große x andere Methode verwenden
    return math.copysign(1, x)
  
  sum_term = 0
  for n in range(terms):
    numerator = ((-1)**n) * (x**(2*n + 1))
    denominator = math.factorial(n) * (2*n + 1)
    sum_term += numerator / denominator
  
  return (2 / math.sqrt(math.pi)) * sum_term

def erf_approx_rational(x):
  """Rationale Approximation (Abramowitz & Stegun)"""
  # Konstanten für die Approximation
  a1, a2, a3, a4, a5 = 0.254829592, -0.284496736, 1.421413741, -1.453152027, 1.061405429
  p = 0.3275911
  
  # Für negative x nutzen wir die Ungerade-Eigenschaft
  sign = 1 if x >= 0 else -1
  x = abs(x)
  
  # Approximationsformel
  t = 1.0 / (1.0 + p * x)
  y = 1.0 - (((((a5 * t + a4) * t) + a3) * t + a2) * t + a1) * t * math.exp(-x * x)
  
  return sign * y

# Vergleich
x = 1.0
exact = math.erf(x)
series = erf_approx_series(x)
rational = erf_approx_rational(x)
print(f"Exakt: {exact:.8f}")
print(f"Reihe: {series:.8f}, Fehler: {abs(exact-series):.2e}")
print(f"Rational: {rational:.8f}, Fehler: {abs(exact-rational):.2e}")