Natürlicher Logarithmus (ln) Rechner

🌿 Die Eulersche Zahl e

Definition und Eigenschaften der Basis des natürlichen Logarithmus:

\[e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828\] \[e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots\] \[\ln(e) = 1 \text{ (per Definition)}\] \[\frac{d}{dx}e^x = e^x \text{ (einzige Funktion, die ihre eigene Ableitung ist)}\]

🔄 Logarithmusgesetze für ln

Spezielle Rechenregeln für den natürlichen Logarithmus:

\[\text{Produktregel: } \ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)\] \[\text{Quotientenregel: } \ln\left(\frac{x}{y}\right) = \ln(x) - \ln(y)\] \[\text{Potenzregel: } \ln(x^n) = n \cdot \ln(x)\] \[\text{Wurzelregel: } \ln(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \ln(x)\]

📊 Analysis und Calculus

Wichtige Eigenschaften in der Analysis:

\[\text{Ableitung: } \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}\] \[\text{Stammfunktion: } \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\] \[\text{Kettenregel: } \frac{d}{dx}\ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}\] \[\text{Grenzwert: } \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0\]

📝 Beispiel 1: Grundwerte des natürlichen Logarithmus

Aufgabe: Wichtige ln-Werte berechnen
Berechnung:

\[\ln(1) = 0 \quad \text{(da } e^0 = 1\text{)}\] \[\ln(e) = 1 \quad \text{(da } e^1 = e\text{)}\] \[\ln(e^2) = 2 \quad \text{(da } e^2 = e^2\text{)}\] \[\ln\left(\frac{1}{e}\right) = \ln(e^{-1}) = -1\]

Merkhilfe: \(\ln(e^n) = n\) für alle reellen n

📝 Beispiel 2: Radioaktiver Zerfall

Aufgabe: Halbwertszeit berechnen
Gegeben: N(t) = N₀ · e^(-λt), N(t₁/₂) = N₀/2
Berechnung:

\[\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_{1/2}}\] \[\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}}\] \[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_{1/2}\] \[-\ln(2) = -\lambda t_{1/2}\] \[t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}\]

Physik: ln(2) ≈ 0.693 ist universelle Konstante für Halbwertszeiten

📝 Beispiel 3: Kontinuierliche Verzinsung

Aufgabe: Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung
Gegeben: K₀ = 1000€, r = 5% p.a., t = 10 Jahre
Berechnung:

\[K(t) = K_0 \cdot e^{rt}\] \[K(10) = 1000 \cdot e^{0{,}05 \cdot 10} = 1000 \cdot e^{0{,}5}\] \[e^{0{,}5} \approx 1{,}649\] \[K(10) \approx 1649\text{€}\] \[\text{Kontrolle: } \ln(1{,}649) \approx 0{,}5 \checkmark\]

Finanzen: Kontinuierliche Verzinsung erreicht theoretisches Maximum

📊 Tabelle wichtiger ln-Werte

📈 Differentialrechnung

Ableitungsregeln für den natürlichen Logarithmus:

\[\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)\] \[\frac{d}{dx}\ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \text{(Kettenregel)}\] \[\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x} \quad (x \neq 0)\] \[\frac{d^2}{dx^2}\ln(x) = -\frac{1}{x^2} \quad \text{(2. Ableitung)}\]

📊 Integralrechnung

Wichtige Integrale mit dem natürlichen Logarithmus:

\[\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\] \[\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C \quad \text{(partielle Integration)}\] \[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C\] \[\int_1^e \frac{1}{x} dx = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1\]

🌀 Komplexer natürlicher Logarithmus

Erweiterung auf komplexe Zahlen:

\[\ln(z) = \ln|z| + i \cdot \arg(z) + 2\pi i k \quad (k \in \mathbb{Z})\] \[\ln(-1) = i\pi \quad \text{(Hauptwert)}\] \[\ln(i) = \frac{i\pi}{2} \quad \text{(Hauptwert)}\] \[\text{Euler-Identität: } e^{i\pi} = -1 \Rightarrow \ln(-1) = i\pi\]

💻 Code-Beispiele

Implementation in verschiedenen Programmiersprachen:

JavaScript:
Math.log(x) // natürlicher Logarithmus
Math.log(Math.E) // = 1

Python:
import math
math.log(x) # natürlicher Logarithmus
math.log(math.e) # = 1

C++:
#include <cmath>
log(x) // natürlicher Logarithmus
log(M_E) // = 1

Hinweis: In den meisten Programmiersprachen ist log() der natürliche Logarithmus